Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников
Цель деятельности учителя
|
Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач
|
Термины и понятия
|
Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия
|
Планируемые результаты
|
Предметные умения
|
Универсальные учебные действия
|
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности
|
Познавательные: осуществляют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы.
Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения, контролировать действие партнера; осуществляют самоанализ и самоконтроль.
Коммуникативные: умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге.
Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
|
Организация пространства
|
Формы работы
|
Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)
|
Образовательные
ресурсы
|
• Учебник.
• Задания для индивидуальной работы
|
I этап. Проверка домашнего задания
|
Цель деятельности
|
Совместная деятельность
|
Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; оценить рисунки учащихся и список вопросов
|
(Ф) 1. Обсудить вопросы учащихся по домашней работе.
2. Оценить рисунки учащихся.
3. Заслушать список вопросов, которые подготовили учащиеся.
(И) 4. Провести 5-минутный тест (см. Ресурсный материал).
Ответы к тесту:
1-й вариант: 1. Подобными; 2. k = 2; 3. х = 7.
2-й вариант: 1. Коэффициентом; 2. k =3; 3. х = 5
|
Продолжение табл.
II этап. Решение задач
|
Цель деятельности
|
Совместная деятельность
|
Научить применять признаки подобия при решении задач
|
(И)
1. Решение задач по готовым чертежам.
1) Найти: C1, B1C1. 2) Найти: C, C1. 3) Найти: ВМ.
  
Ответ: С1 = 71°, В1С1 = 15 см. Ответ: C = С1= 60°. Ответ: ВМ = 6 см.
4) Найти: ВС. 5) Найти: АВ, NC.
 
Ответ: ВС =  . Ответ: АВ = 8, NC = 8.
Проверить решения задач по готовым ответам. Учащиеся, справившиеся со всеми задачами, решают дополнительные. Индивидуально поработать с теми детьми, которые допустили ошибки при решении задач.
|
|
2. Дополнительные задачи.
1) Диагональ АС трапеции ABCD (AB || CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.
Ответ: SАВСD = 204 см2.
2) Угол В треугольника ABC в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части AD = 6 см и CD = 3 см. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ: АС = 9 см, АВ =  см, ВС =  см
|
III этап. Итоги урока. Рефлексия
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
(Ф/И)
– Оцените свою работу на уроке.
– Какие трудности возникли при решении и почему?
– За что бы ты себя похвалил на уроке?
– Что изменил бы в своих действиях на уроке?
– Что бы ты изменил на уроке в последующем?
– Что тебе понравилось на уроке больше всего?
|
(И) Домашнее задание: решить задачи № 562, 563, 604, 605
|
Ресурсный материал
Тест
«Признаки подобия треугольников»
Ф. И.
|
Ф. И.
|
Вариант I
|
Вариант II
|
1. Вставить пропущенное слово.
Два треугольника называются _____________________, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
|
1. Вставить пропущенное слово.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется ______________________________ подобия
|
2. Найти коэффициент подобия.
Ответ: ________________________
|
2. Найти коэффициент подобия.
Ответ: _________________________
|
3. Найти х, если АВ = 21, ВС = 30, МС = 10.
Ответ: _________________________
|
3. Найти х, если АВ = 10, АС = 40, РС = 20.
Ответ: _________________________
|
Урок 35. Решение задач на применение признаков подобия треугольников
Цель деятельности учителя
|
Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение признаков подобия треугольников для подготовки учащихся к контрольной работе
|
Термины и понятия
|
Пропорциональные отрезки, отношение, пропорции, сходственные стороны, коэффициент подобия
|
Планируемые результаты
|
Предметные умения
|
Универсальные учебные действия
|
Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности
|
Познавательные: осуществляют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы.
Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения, контролировать действие партнера, работать в группе, осуществлять самоанализ и самоконтроль.
Коммуникативные: вступают в речевое общение, участвуют в диалоге.
Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета
|
Организация пространства
|
Формы работы
|
Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)
|
Образовательные
ресурсы
|
• Учебник.
• Задания для групповой и индивидуальной работы
|
I этап. Проверка домашнего задания
|
Цель деятельности
|
Совместная деятельность
|
Проверить уровень усвоения признаков подобия треугольников
|
(Ф/И)
1. Ответить на вопросы учащихся.
2. Проверить выполнение домашнего задания.
|
|
№ 562.
|
Дано: АВС, АВ = а, СН АВ, СН = h, MNKE – квадрат.
Найти: MN.
Решение:
Рассмотрим АВС и KNC. В = N (как соответственные при АВ || NK и секущей ВС), С – общий, следовательно, АВС ~ KNC (по двум углам), следовательно, 
|
Примем MN = NK = KE = ME = x, следовательно, CQ = h – x. Подставим значения в (*), получим: 
а (h – x) = hx; аh = hx + ах;  то есть MN = 
Ответ:
№ 563.
|
Дано: АВС, АD – медиана, M АD, BM AC = K.
Найти:  – ?
Решение:
а) Если M – середина АD (дополнительное построение ND || KB):
|
1) Рассмотрим AKM и AND; А – общий, K = N (как соответственные при KB || AD и секущей AN), следовательно, AKM ~ AND (по двум углам), следовательно,  (так как AM = MD по условию).
|
|
2) Рассмотрим CND и CKB; С – общий, D = В (как соответственные при ND || KB и секущей DВ), следовательно, CND ~ CKB (по двум углам), следовательно,  (так как CD = DB по условию).
3)  следовательно, AK = NK = CN, а значит  что и требовалось доказать.
|
б) Если  рассуждая аналогично пункту (а), имеем:
1) AKM ~ AND (по двум углам), следовательно, 
|
2) NCD ~ CKB (по двум углам), следовательно, 
3)  , то есть AK : KN = 1 : 2;  , то есть CN = NK = 2. Значит,  , что и требовалось доказать
|
II этап. Решение задач
|
Цель деятельности
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
1
|
2
|
3
|
Совершенствовать навыки решения задач на применение признаков подобия треугольников; подготовить учащихся
к контрольной работе
|
(Г) Класс делится на группы по 3–4 человека. Учитель при необходимости оказывает консультативную помощь.
Задачи:
1. В прямоугольном треугольнике ABC A = 40°, B = 90°, а в треугольнике
|
Краткое решение задач:
1. М : N : K = 5 : 9 : 4, М + N + K = 180°
М = 50°, K = 90°, N= 40° А = N = 40°, В = K = 90°
∆ABC ~ ∆NKM по двум углам АВ : NK = BC : KM = AC : NM.
|
|
MNK углы М, N, K относятся как 5 : 9 : 4.
АВ = 3 см, KN = 9 см.
Найти: а) ВС : KМ; б) SАВС : SMNK;
в) РАВС : РMNK.
|
Дано: MN || AC, SАВС : SBMN =
= 49 : 25,
MN = 20 см.
Найти: АС.
|
3. В параллелограмме ABCD AE – биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке K. Найти отношение ВK : KD.
4. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 2 см и 8 см, а диагональ АС равна 4 см. В каком отношении делит диагональ АС площадь трапеции?
|
а) Так как АВ : NK = 3 : 9 = 1 : 3, то ВС : KМ = 1 : 3.
б) SАВС : SMNK = (АВ : NK)2 = 1 : 9.
в) РАВС : РMNK = АВ : NK = 1 : 3.
Ответ: а) 1 : 3; б) 1 : 9; в) 1 : 3.
2. ∆АВС ~ ∆BMN по двум углам (В – общий, BAC = BMN).
SАВС : SMNK = 49 : 25 = k2, k =  АВ : МВ = ВС : BN =
= AC : MN = АС = 28 см.
Ответ: 28 см.
|
Биссектриса A параллелограмма ABCD отсекает от него равнобедренный треугольник ABE, следовательно,
АВ = BE. Так как АВ : ВС = 4 : 9,
|
то BE : ВС = 4 : 9. ВЕ : АD = 4 : 9 (ВС = AD, как противолежащие стороны параллелограмма).
∆AKD ~ ∆ЕKВ по двум углам (BKE = AKD, BEK = KAD), тогда ВK : KD = ВЕ : АD = 4 : 9.
Ответ: 4 : 9.
|
∆АВС ~ ∆DCA по двум пропорциональ-
ным сторонам и углу между ними
(ВС : АС = АС : АD = 1 : 2; l = 2),
отсюда SАВС : SАDС = (ВС : АС)2 = .
|
Ответ: 1 : 4.
|
|
5. Прямая MN пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC в точках М и N соответственно так, что ВС = 2MB,
АВ = 2NB, MB : NB = 3 : 5.
Найти: а) РАВС : PNBM; б) SАВС : SNBM;
в) MN : АС
|
|
МВ : NB = 3 : 5 ВМ = 3х, NB = 5х;
АВ = 2NB АВ = 10х.
BM : BC = 3x : 6x = 1 : 2
BN : BA = 5x : 10x = 1 : 2
MBN = CBA, таким образом,
∆АВС ~ ∆NBM.
|
а) РBMN : РАВС = 1 : 2
б) SАВС : SNBM = (2 : 1)2 = 4
в) MN : АС = 1 : 2
Ответ: а) 1 : 2; б) 4 : 1; в) 1 : 2
|
|
|
