Серия уроков «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
Белорукова Марина Васильевна, МБОУ СШ № 8 г. Архангельска,
учитель математики
Ибрагимова Афаг, САФУ имени М.В.Ломоносова,
студентка 3 курса, направление Педагогическое образование,
профиль Математика и информатика
Номинация
|
Урок по предметной области «Математика и информатика»
|
Дата(-ы) проведения занятия
(серии занятий)
|
Апрель – май 2016 года
|
Общая продолжительность занятия (серии занятий / проекта и т.д.)
|
2 занятия по 45 минут
|
Участники (возраст, класс)
|
11 класс, 17–18 лет
|
Ориентировочная продолжительность работы учащихся (воспитанников) с компьютером
|
Индивидуальное использование компьютера в течение урока с перерывами на решение задач в рабочей тетради (всего около 20–25 мин).
|
Оборудование, необходимое для проведения занятия
|
Мобильный компьютерный класс, проектор, интерактивная доска
|
Используемый учебник и/или дополнительные пособия
|
Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Учебник и задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010.
|
Аннотация
В данной работе представлен конспект урока-практикума по решению уравнений и неравенств с параметром. Деятельность учащихся организована с использованием электронного приложения, разработанного в интерактивной геометрической среде GeoGebra, и рабочей тетради, что помогает активизировать на уроке работу всех учащихся. Работа учащихся за компьютером чередуется с работой в рабочей тетради и разбита на три этапа: 1 – преобразование уравнений и неравенств, описание и построение графиков в тетради, 2 – проверка построения графиков с помощью интерактивной модели, 3 – исследование зависимости количества решений задачи от параметра а с использованием модели, 4 – самооценка и работа над ошибками в рабочей тетради. Устная работа по определению групп графиков осуществляется с использованием анимационных роликов, выполненных в ИГС GeoGebra.
Урок в системе уроков алгебры
Решение задач с параметрами - 10 часов
|
№
п/п
|
Содержание материала
|
Количество часов
|
|
Аналитический метод решения задач с параметром
|
2
|
|
Графический метод решения задач с параметром
|
2
|
|
Решение задач с параметром методом областей
|
2
|
|
Решение задач с параметром с использованием свойств геометрических фигур
|
2
|
|
Использование свойств функций при решении задач с параметром
|
1
|
|
Зачётная работа по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
|
1
|
По аналогичной схеме разработаны и проведены:
уроки решения уравнений и неравенств с параметром с использованием геометрических методов (электронный ресурс и рабочая тетрадь прилагается);
уроки решения уравнений и неравенств с параметром методом областей.
Конспект урока
Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром
Тип урока: урок-практикум
Форма работы: Самостоятельная работа учащихся с использованием рабочей тетради и ЭОР «Решение задач с параметром».
Цели:
Предметные: совершенствование навыков решения уравнений и неравенств с параметрами на этапе обобщения знаний.
Метапредметные: самостоятельное осуществление, контроль и корректировка деятельности по решению задач с использованием рабочей тетради и ЭОР «Решение задач с параметром».
Личностные: развитие способностей к самостоятельной деятельности.
Оборудование и программное обеспечение: интерактивная доска, проектор, компьютеры, рабочая тетрадь «Графический метод решения уравнений и неравенств с параметром», электронный образовательный ресурс Практикум_Параметры_Графический.ggb, созданный в ИГС «GeoGebra 4.2».
План урока:
Этап урока
|
Форма организации
|
Время
|
Организационный
момент
|
Фронтальная работа
|
5 мин
|
Актуализация знаний и умений учащихся
|
Фронтальная работа
|
10 мин
|
Демонстрация решения задачи с параметром
|
Фронтальная работа
|
15 мин
|
Практическая работа: самостоятельное решение задач
|
Индивидуальная работа учащихся
|
45 мин
|
Подведение итогов, работа над ошибками
|
Фронтальная работа
|
10 мин
|
Домашнее задание
|
Фронтальная работа
|
5 мин
|
Ход урока
Организационный момент
Учитель приветствует детей, проверяет готовность к уроку.
Девиз урока: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (Айвен Нивен – канадско-американский математик, специалист в теории чисел, 1915–1999).
Какую тему мы изучаем? (задачи с параметрами).
Каким методом мы решали задачи с параметром на прошлом уроке? (аналитическим).
Какие ещё методы решения уравнений и неравенств вы знаете? (функциональный, графический метод, метод замены, комбинированные методы).
Как вы думаете, какой будет тема сегодняшнего урока? (решение задач с параметрами каким-либо методом).
Чтобы догадаться, какой метод мы будем рассматривать сегодня, определите, сможете ли вы решить это уравнение аналитическим методом?
Задача: При каких значениях параметра а, уравнение  не имеет решений, имеет одно, два решения.
С чего следует начать решение этого уравнения аналитическим методом? (Обе части уравнения разделить на а 0).
Что будете делать дальше? (раскроем модуль по определению. Решим полученные уравнения относительно x).
Как будете определять количество решений? Когда уравнение не будет иметь решений? (проведём исследование параметра a. Если при заданном значении параметра а решение уравнения не удовлетворяет условию раскрытия модуля).
Итак, вы сможете решить это уравнение аналитическим методом. Но в чём сложность решения данного уравнения аналитическим методом? (долго, много случаев, преобразований).
Нельзя ли для решения этого уравнения выбрать другой метод? (графический).
Каковы признаки выбора графического метода решения уравнения? (определение количества решений и знание графика уравнения).
Итак, тема нашего сегодняшнего урока – Решение уравнений и неравенств с параметром графическим методом.
Актуализация знаний и умений учащихся
Знание, какого материала нам потребуется для решения уравнений и неравенств с параметром графическим методом? (знание графиков функций).
Правильно. Но я бы уточнила: знание не только графиков функций, но и групп графиков, графиков не только функций, но и уравнений. Решим для этого следующие задания.
Задание. Опишите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
 (семейство концентрических окружностей радиуса  с центром в точке C (2; – 4), если a=0, то это сама точка С);
 (семейство окружностей радиуса  с центром в точке C(– a; a), перемещающейся по оси OY и по оси OX);
 (семейство углов с изменяющейся вершиной  );
y = ax – 2 (семейство прямых (кроме параллельных OY), проходящих через одну и ту же точку M (0; – 2) и имеющих изменяющийся угловой коэффициент k = a);
 (семейство кривых на плоскости XOY, представляющих верхнюю часть параболы);
y = (x + a)2 – a + 1 (семейство парабол с изменяющейся вершиной в точке (– a; – a + 1)).
(x + y)2 = a2 (семейство параллельных прямых).
Проверка осуществляется с помощью анимационных роликов (см. приложение-презентацию «АНИМАЦИОННЫЕ РОЛИКИ»).
Рисунок 1. Слайд презентации с анимацией семейства окружностей
Демонстрация решения задачи с параметром
Задача: При каких значениях параметра а, уравнение  не имеет решений, имеет одно, два решения.
Вы сказали, что для решения этого уравнения можно использовать графический метод.
С чего начнём решение? (Представим левую и правую части уравнения в виде самостоятельных функций:  и  y = x + 1).
Что будем делать дальше? (Построим в одной системе координат графики функций: и y = x + 1).
Что представляют собой графики функций? (второй – прямая, первый – угол с вершиной в точке (3; 0), величина которого зависит от параметра а).
Изобразите графики функций в тетради, а я сделаю это в GeoGebra (рис. 2).
Рисунок 2.
От чего зависит количество решений уравнения? (от количества точек пересечения графиков).
Так как моя модель является динамической, она поможет нам определить зависимость количества точек пересечения графиков от параметра а.
Учитель изменяет значения параметра а и демонстрирует возможные варианты.
Как должны быть расположены графики, чтобы уравнение не имело решений? (лучи угла направлены вниз и один из них параллелен прямой).
Как должны быть расположены графики, чтобы уравнение имело одно решение? (один луч угла пересекает прямую).
Как должны быть расположены графики, чтобы уравнение два имело решения? (оба луча угла пересекают прямую).
Найдите значение параметра а в каждом из этих трёх случаев. (а –1, –1< а 1, а > 1).
Практическая работа: самостоятельное решение задач
Далее вы будете работать самостоятельно. Для оформления решения задач вы используете рабочую тетрадь, а для проверки построения и исследования вы используете динамическую модель.
Для начала внимательно ознакомьтесь с инструкцией по выполнению практической работы.
Учащиеся решают задачи самостоятельно, каждый решает задачи в своей рабочей тетради. Ноутбук используется двумя учениками по очереди. Для учащихся, работающих быстро, желательно иметь запасной ноутбук, как правило, проблем с использованием компьютера, не возникает, так как большая часть работы связана с решением задачи в тетради.
Инструкция по выполнению самостоятельной работы
Получите номер варианта самостоятельной работы.
Запишите уравнение (неравенство, систему), подставляя коэффициенты, соответствующие варианту.
Начните решать задание в рабочей тетради с преобразования уравнения, неравенства. Опишите графики функций, стоящие в левой и правой частях уравнения, неравенства. Постройте их в тетради.
Проверьте выполнение построения с помощью динамической модели Практикум_Параметры.ggb. Для этого в жёлтом окне поставьте движки в соответствии с полученным вариантом. В зелёном окне выберите номер задачи с помощью установления флажка. Проверьте правильность описания и построения графиков, исправьте ошибки в рабочей тетради, если они есть.
Используйте модель для исследования зависимости количества решений задачи от параметра а. Для этого в синем окне измените значения параметра а и наблюдайте за изменениями взаимного расположения графиков в системе координат. Ответьте на поставленный вопрос задачи и ответ запишите в рабочую тетрадь.
Сообщите учителю о своей готовности, проверьте ответ.
Оцените свою работу на каждом этапе решения задачи и заполните таблицу «Самооценка».
На рисунке 2 приведен пример выполнения пунктов 4–5 данной инструкции с помощью ЭОР.
Рисунок 2. Интерфейс ЭОР «Решение задач с параметром»
На рисунке 3 приведен фрагмент рабочей тетради и решение задачи учащимся 11 класса.
Подведение итогов, работа над ошибками
Подведём итоги самостоятельной работы. Какое задание вызвало у вас трудности? (третье)
Далее учитель вызывает к доске ученика, не справившегося с заданием, для демонстрационного решения задания.
Поставьте себе оценку за урок по итогам выполнения заданий без учёта третьего задания. (Результатом практикума не является решение всех предложенных задач на занятии всеми учащимися. Каждый ученик работает в соответствии со своими возможностями.)
 
 
Рисунок 4. Страницы рабочей тетради и ее решение, выполненное учеником
Домашнее задание
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства  является отрезок.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение  на множестве [0; + ) имеет ровно два корня.
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система  имеет единственное решение.
Замечание. Для проверки правильности решения задачи постройте ее модель в ИГС.
Резюме
Работа над ошибками была первоначально запланирована разными способами, но использовался первый вариант. Приведем примеры возможных вариантов:
фронтально под руководством учителя, если большинство учащихся сделали ошибки при решении данной задачи;
групповая работа, если ошибки учащихся допущены эпизодически в различных заданиях (группы формируются в зависимости от неверно решённого задания). Групповым консультантом является ученик, решивший данное задание верно;
индивидуальная работа, если 1–2 учащихся допустили ошибки.
При этом снова используется интерактивная модель.
Литература
Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с.
Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 290 с.
Корянов А. Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1 – С5. Методы решений. Брянск, 2010. – 177с.
Моденов В. П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие / В. П. Моденов. – М.: издательство «Экзамен», 2007. – 295 с.
Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007. – 263 с.
Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007. – 424 с.
Решу ЕГЭ. Математика, профильный уровень. – официальный сайт. URL: http://reshuege.ru
|
