«Решение задач на экстремум»
|
Скачать 1.1 Mb.
|
Задачи предлагаемые учащимся. I уровень сложности. Задача 1. В швейном цехе имеется 164 м ткани. На шитье одного халата требуется 4 м. ткани, а одной пижамы – 3 м. Сколько следует изготовить халатов и пижам для получения наибольшей прибыли от реализации продукции, если халат стоит 7 руб., а пижама – 6 руб.? Известно, что халатов требуется изготовить не менее 14 шт. Решение. Пусть в швейном цехе изготовлено х халатов и у пижам. Тогда решение задачи сводится к нахождению max(7x + 6y), если 4х + 3у =1 64. max(7x + 6y) = max (328- x) = 314 , где x≥ 14. Для получения наибольшей прибыли следует изготовить 14 халатов и 36 пижам. Задача 2. Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам. Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей? Поиски решения. Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р. Решение. Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P - 2x. Площадь сечения будет равна х (Р - 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р - 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх. Очевидно, что  Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8. Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 9x – 2∙3 x на отрезке [-1; 2]. Решение. Пусть t= 3x. Так как -1 ≤ x ≤ 2, то  , у= t2 – 2t. Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функцииу = t2 – 2t на отрезке [  ; 9]. Абсцисса t0 вершины параболы, являющейся графиком э той функции , равна 1, ветви параболы направлены вверх. Так как t0 є [; 9], то min y(t) =y (1) = - 1, а максимальное значение достигается на том конце отрезка, который наиболее удален от t0 , т.е. max y(t) = y(9) = 63. Если t = 1, то х = 0, если t= 9, то х =2. Поэтому max y(x) = y(2) = 63, min y(x) = y(0) = - 1.II уровень сложности. Задача 1. Предполагается, что рацион составляется из двух видов кормов - сена и концентратов. В таблице приведены числовые данные о суточной потребности одного животного в питательных веществах и о себестоимости кормов в данном хозяйстве:
Требуется найти самый дешевый рацион, если ежедневный рацион кормления сельскохозяйственных животных должен включать не менее 16 кг. сена. Решение. Пусть ежедневный рацион кормления состоит из х кг. сена и у кг. концентратов. Тогда ежедневный рацион содержит (0,5 х + у) кормовых единиц, себестоимость которого равна (1,5 х + 2,5 у). Решение задачи сводится к нахождению min (1,5 х + 2,5 у), если 0,5 х + у =20. min (1,5 х + 2,5(20 – 0, 5х )) = min (0,25 х + 50) = 54. Задача 2. Найти наибольшее значение функции f = х4 (32-х4). Решение: Поиски решения. Данная функция принимает отрицательные значения при  , а при  - положительные. Поскольку ее наибольшее значение надо искать среди значений х меньших, чем  .Если мы положим х4 = у, то задача сведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени, имеющего вид: - у2 +32у. Однако если проявить наблюдательность и заметить, что сумма множителей х4 и (32 - х4) является величиной постоянной, то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачу проще.  Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=6  - 2х на отрезке [2 ; 8] .Решение. Пусть t =  . Так как 2 ≤ х ≤ 8 , то 1 ≤ t ≤  . При этом 2х = t2 + 3, откудаy=6 t - t2 –3. Таким образом, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, абсцисса t0 вершины параболы, равна 3. Так как t0 є [1; ] , то max y(t) =y (3) =6, а наименьшее значение достигается в том из концов отрезка который наиболее удален от t0, т.е.min y(t) =y (1) = 2. Если t = 3, то х = 6, если t= 1, то х =2. Поэтому max y(x) = y(6) = 6, min y(x) = y(2) = 2. III уровень сложности. Задача 1. Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали упаковывают в ящики трех видов.6 по 70, 40 и 25 деталей в каждый. Стоимость пересылки одного ящика каждого вида соответственно равна 20 руб., 10 руб. и 7 руб. Сколько ящиков и какого вида должен использовать завод , чтобы стоимость пересылки была наименьшей. Решение. Оценим, в каком из ящиков пересылка одной детали будет наиболее дешевой: в первом  руб., во втором  руб., в третьем  руб. Поскольку  <  , то выгоднее пересылать детали в ящиках по 40 штук, менее выгодно- по 25 штук, наименее выгодно – по 70 штук.Но 1100 деталей в ящики по 40 штук полностью вместить нельзя. Следовательно, необходимо найти максимальное количество деталей, которые можно переслать в ящиках по 40 деталей. Максимальное количество стоит искать среди чисел, близких к 1100 и кратных 40, т.е. среди чисел, 1080, 1040, 1000 и т.д. Первые два числа не подходят, т.к. останется в первом случае 20, а во втором -60 деталей; в третьем случае останется 100 деталей, которыми можно загрузить 4 ящика по 25 деталей. Можно подсчитать, что в этом случае затраты на пересылку составят 10 ∙ 25 + 4 ∙ 7 =278 руб. А если, например, отправить 10 ящиков по 70 деталей и 16 ящиков по 25 деталей, то затраты составят 312 руб.. Задача 2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=4x+6|x-2|-x2 на отрезке [-1;3]. Решение: y=-( x2-4x+4-4)+ 6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4. Так как а2=|а|2, то y= -|x-2|2+6|x-2|+4. Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно, min y(t)=y(0)=4, max y(t)=y(3)=13. [0;3] [0;3] Если t=0, то x=2. Если t=3, то |x-2|=3  Но по условию х  [-1;3], поэтому остается только значение х=-1.Ответ: min y(х)=y(2)=4, max y(х)=y(-1)=13. [-1;3] [-1;3] Задача 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у=2sin x – cos 2x +cos2 x. Решение. Так как cos 2x = 1 -2 sin2 x, cos2 x = 1- sin2 x, то y= sin2 x+ 2 sin x. Пусть t =sin x, -1 ≤ t ≤ 1. Тогда, решение задачи сводится к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса t0 вершины параболы, равна - 1. Так как t0 є [- 1;1] , то max y(t) =y (1) =3, min y(t) =y (-1) = -1. Если t = 1, то sin x = 1  x =  . Если t= - 1, тоsin х = -1  n, nZ. Поэтому max y(x) = 3, min y(x) = - 1.Занятие 4 Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы». Тип: Комбинированный урок. Цели: Обучающая: Обучить способу решения экстремальных задач различными аналитическими методами, совершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами. Развивающая: дать возможность учащимся убедится в том, на сколько развиты их возможности и над чем нужно поработать. Воспитательная: воспитание потребности и умения работать в коллективе для решения совместных задач, активной жизненной позиции, умения ставить и достигать цели. Задачи: Рассмотреть различные аналитические методы решения экстремальных задач, и их применение при решении конкретных задач; закрепление умений и навыков решения экстремальных задач аналитическими методами. Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями. План урока
Ход урока:
Задачи предлагаемые учащимся. I уровень сложности. Задача 1. Найдите прямоугольник наименьшего периметра, ограничивающий заданную площадь. Решение. В данном случае площадь S= xy постоянна. Следовательно, p= x+y достигает наименьшего значения, если х + у = 2  . Таким прямоугольником является квадрат со стороной , периметр его 4.Задача 2. Найти наименьшее значение функции у = х +  , при х > 2.Решение. Очевидно, что  Отсюда следует, что искомое наименьшее значение получается при х-2  прих = 6, а само искомое значение равно  Задача 3. Найти наибольшее значение функции y=  .Решение. Заметим, что D(y) = [0;  ]. При х [0; ] выполнены, очевидно, неравенства х3 ≥ 0, 2 – х3 ≥0.Применим неравенство Коши : y= ≤  =1.Поэтому у ≤ 1, причем знак равенства достигается, лишь если  х =1.max y(x) = y(1) = 1. II уровень сложности. Задача 1. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см3. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть размеры ее, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала? Решение. Длину стороны основания обозначим через х см., а высоту коробки – у см.(х>0, y>0). Тогда ее объем V= x2y. Учитывая, что V= 108 см3, имеем x2y = 108 => у=  .Пусть S-площадь поверхности коробки: S= x2+4xy = x2+4x = x2+  .Представим выражение для S следующим образом: S = x2 +  + .Произведение x2 + + равно 2162. Следовательно, S достигает наименьшего значения, если х2= , т.е. х3 = 216 => х =6 => y = 3.Тогда = 108 (см 2). Задача 2. Найти наименьшее значение функции y =32х – 1 + 4∙33 – 2х. Решение. Так как 3t и 4∙ 3z положительные при любых действительных значениях t и z, то, применив неравенство Коши, получим У=32х – 1 + 4∙33 – 2х ≥ 2  =2 =12.Таким образом, у(х) ≤ 12 при любом действительном х, причем знак равенства достигается, лишь, если 32х – 1=4∙33 – 2х  34х – 4 =4 х=  .min y(x) = y( ) =12.Задача3. Найти наибольшее значение функции у=4  на интервале (-∞ ; ) .Решение. у=4  = Так как по условию х<  , то 2х – 1 <0 и  <0.max y(x) = y(  ) = -2 .III уровень сложности. Задача 1. При небрежной транспортировке рулонов типографской бумаги на их поверхности появляются трещины, в результате чего образуется так называемый бумажный срыв, идущий в отходы. Очевидно, что эти отходы тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном его объеме. Необходимо исследовать, при каком соотношении между диаметром и длиной(т.е. образующей) рулона срыв бумаги будет наименьшим. Решение. Задача сводится к нахождению такого соотношения между радиусом R основания и высоты Н цилиндра, чтобы при данном объеме цилиндра его полная поверхность имела наименьшее значение. Имеем : S= 2π RH + 2π R2, H=. Поэтому S =  +2πR2 =  ++ 2πR2 .Надо найти наименьшее значение суммы трех положительных слагаемых +  + 2πR2, произведение которых ∙2πR2= 2πV2 неизменно при данном постоянном значении V. Поэтому S достигает тогда и только тогда, когда =2πR2, т.е. когда =2πR3.H=  = =2R.Задача 2. Найти наименьшее значение функции у =  на интервале (13/6 π ; 17/6 π).Решение. у = =2sin x + 1+  =2 sin x – 1+ +2.По условию, 13/6 π < x < 17/6 π , т.е.  + 2π < x <  + 2π, откудаsin x > ½. Y = 2sin x - 1 +  +2 ≥ 2 +2 =4.Таким образом, у ≥ 4, причем знак равенства достигается тогда и только тогда , когда  C учетом того, что 13/6 π < x < 17/6 π, получим х =  min y= 4. Задача 3. Найти наименьшее значение функции y =| x2 – x| + |x + 1|. Решение. y=| x2 – x| + |x + 1|≥ |x2 – x + x +1| =|x2 + 1| = x2 + 1≥ 1. Таким образом, у≥1, причем знак равенства достигается только в том случае, когда одновременно выполнены равенства | x2 – x| + |x + 1| = |x2 + 1| и x2 + 1=1, откуда x=0. min y(x) = y(0) =1. Занятие 5 Тема: «Универсальный метод решения задач на экстремумы». Тип: Комбинированный урок. Цели: Обучающая: отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной, обобщить материал по теме «Решение экстремальных задач». Развивающая: развитие волевых качеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельной работы. Воспитательная: воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность. Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода. Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями. План урока
Ход урока:
Задачи предлагаемые учащимся. I уровень сложности. Задача 1. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей? Решение: Пусть х и у – линейные размеры участка в метрах, тогда площадь участка есть  , откуда  . длина всего забора выразится функцией причем по смыслу задачи x>0.Далее имеем  откуда  при  (поскольку x>0). Если 0 ; если же x>14, то  ; поэтому x=14 есть точка минимума функции  . в результате получаем, что x=14, у=21.Ответ: x=14, у=21. Задача2. Число 81 разбить на 3 положительных сомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трех сомножителей была наименьшей. Решение: Обозначим первое слагаемое за х. Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2х2. Найдем сумму слагаемых S. S=3х+81/2х2. Найдем наименьшее значение функции S. Для этого найдем производную S'=3-81/х3=0 => х=3- минимальное значение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5. Задача3. Из квадратного листа железа со стороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным. Решение: Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (а -х), а объем коробки равен S (а –х)х2 на интервале (0, а). Таким образом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V(x)=1/2(a - x)x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции : V/ (x) = ax – 3/2 x2, ax – 3/2 x2=0, т.е. х=0 или х=2/3 а V(2/3а) =1/2(a -2/3a)(2/3a)2= 2/27 a3. Т.к. V(0)=0 и V(a) =0, своего наибольшего значения на отрезке функция достигает при х =2/3а, т.е. max V(x) =2/27 a3. Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а. II уровень сложности Задача 1. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом  вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?Решение: По условию, АВ=24см,  , откуда  . Пусть  и  - линейные размеры прямоугольника MNKL (в сантиметрах). Выразим  через  .Из  :  ; из  :  ;тогда  .Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией  .Далее имеем  , откуда  при  . Если  , то  , а если  , то  , т.е.  – точка максимума функции  . Итак, длины сторон искомого прямоугольника равны  см и  см.Ответ: и 12 см.Задача 2. Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью  км/ч. После того как он отошел от А на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в А со скоростью 4 км/ч. При каком значении  время прогулки окажется наименьшим?Решение: Время, за которое велосипедист догонит пешехода, составит  . До встречи пешеход находился в пути  и прошел  . Этот же путь они преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км /ч и затратили время  Тогда время, затраченное пешеходом на всю прогулку, выразится функцией где  >0.Находим  откуда  при =6. Легко установить, что =6 – точка минимума функции  .Итак, пешеход затратит на прогулку наименьшее время, если первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч. Ответ: 6 км/ч Задача 3. Площадь прямоугольного треугольника 16 см2 какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов построенных на его сторонах была наименьшей? Решение: Обозначим один из катетов треугольника за х, тогда второй равен  из теоремы Пифагора находим третью сторону -  . Тогда искомая функция:у =х2+  + х2+  ,исследуя эту функцию находим min y=4  . Откуда получаем искомые стороны треугольника: 4; 4; 8.III уровень сложности. Задача 1. Каков должен быть радиус основания открытого цилиндрического бака , имеющего приданном объеме V наименьшую площадь основания? Решение: S=2πRH+ πR2, V= πR2H,  H=  S=2πR + 2πR2 =+ πR2 , S/=-  + πR;S/=0; 2πR= , V = πR3  R = Задача 2. Найти длину боковой стороны трапеции имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью, углом между боковой стороной и нижним основанием. Решение: Пусть высота трапеции – х. Тогда:  Из  :  По условию  ; Покажем, что при этих условиях периметр минимальный  а) пусть  , тогда  б) пусть  ,тогда  Т.к.  Ответ:  .Задача 3. Лодка М находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки В, находящейся на берегу на расстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч , а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибыть лодка, чтобы пассажир достиг В в кратчайшее время? Решение: t=  Пусть АО = х. Тогда ОВ = 5 – х и t=  t/(x) =  -  ,  =  , x =4.Ответ: 4км, 1км. Анализ. </0></0></0> |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и построить ее график.
буквой u, получим:
и получается оно при 
т.е. при
.
≥ 2
. Причем знак неравенства достигается в том и только том случае, когда at=b/t, т.е. t2=b/a.
).
=
=2x-1+
Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).Похожие:
 |
Разработка системы "Автоматизированное решение задач механики" В данном дипломном проекте рассмотрены вопросы автоматизированного решения задач механики. Было рассмотрено решение четырех типов... |
|
Уроке химии и математики по теме: «Решение задач на процентную концентрацию... В химии и других естественных науках тренировка сводится к решению задач. При решении стандартных задач используется определенный... |
 |
Решение текстовых задач (в соответствии с алгоритмом, приведенным выше) Познавательные (постановка и решение проблемы) ) универсальные учебные действия |
|
«Химия и жизнь» Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг приоритетных... |
|
Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач |
|
Порядок разработки планирующих и Для решения данных задач создаются органы управления и, в частности – постоянно действующие органы управления, специально уполномоченные... |
|
Лабораторная работа №1 Тема : Решение задач линейного программирования... Тема: Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью ms excel |
|
Типовые правила использования сети Интернет в образовательной организации Использование сети Интернет в образовательной организации направлено на решение административных задач и задач учебно-воспитательного... |
|
Отчет Главы наслега за 2014 год Основная деятельность наслежной администрации... Основная деятельность наслежной администрации в 2014 г была направлена на решение следующих задач |
|
Решение задач. Записать ответы тестового задания. Анализ преподавателем... Образовательные: продолжить формировать умения решать генетические задачи, выработать у студентов практические навыки и умения при... |
|
Решение некоторых прикладных задач сферической геометрии в среде электронных таблиц |
|
Решение задач по математике Учебно-методический комплекс рабочая... Курс по выбору выполняет функцию поддержки основного курса «Курс общей и экспериментальной физики» и ориентирован на углубление предметных... |
|
Преобразование графиков функций 4 Решение экзаменационных задач по информатике с использованием программной среды КуМир 9 |
|
«Детская школа искусств №6» Приказ о назначении сотрудника, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны |
|
Решение наиболее сложных задач на server-side Определение технических требований и технологий для реализации проектов компании |
|
Решение частных задач Формировать знания об истории возникновения Олимпийских игр; учить технике метания предмета на дальность |