«Решение задач на экстремум»
|
Скачать 1.1 Mb.
|
|
Ход урока:
Задачи предлагаемые учащимся. I уровень сложности. Задача 1. На стороне ВС треугольника ABC найти точку D так, чтобы отрезок AD имел: а) наибольшую длину; б) наименьшую длину. Решение: а) Пусть di - произвольная внутренняя точка ВС и АВ > АС. Так как  AD1B> C>B, то AB >ADl.Следовательно, отрезок AD имеет наибольшую длину, если он совпадает со стороной АВ. Если АВ = АС, то имеем два решения: стороны АВ и АС. б) Пусть в треугольнике ABC ни один из углов В и С не тупой. Тогда основание высоты, проведенной из вершины А находится на стороне ВС и отрезок AD имеет наименьшую длину, если AD  BC.Пусть теперь угол С тупой. В этом случае основание Н высоты АН треугольника лежит на продолжении стороны ВС за точку С. Так как наклонная А С меньше всякой другой наклонной AD1 с основанием на ВС, то отрезок AD имеет наименьшую длину, если он совпадает со стороной АС треугольника. Задача 2. Прямая MN отсекает от данного угла А треугольник данной площади Q (М и N - точки на сторонах угла А). При каком условии отрезок MN имеет наименьшую длину, и какова эта длина? Решение: Обозначив отрезки AM и AN соответственно через х и у, по теореме косинусов получим: MN2 = x2 + y2 - 2xycosA = (x-y)2 + 2xy (1-cosA) = (x-y)2 + 4 Q tg  так как ½ xy sin А = Q. Следовательно, при х= у (AM = AN) отрезок имеет наименьшую длину, равную  .Задача 3. Под каким углом к берегу нужно направить лодку, что бы за время ее переправки лодку как можно меньше снесло течением, если скорость течения 6 км/ч, а собственная скорость лодки – 3 км/ч. Решение. Необходимо направить лодку так, чтобы ее абсолютная скорость (относительно берегов) составляла, возможно, больший угол с берегом. Пусть вектор  - скорость лодки относительно воды. Сумма +  =  дает абсолютную скорость лодки (относительно берегов). Длина вектора=3 и его можно направить в любую сторону. Множество возможных положений точки М – окружность радиуса 3 с центром в точке А.Из всех векторов наибольший угол с берегом составляет  , направленный по касательной к окружности. Получаем прямоугольный треугольник, у которого катет вдвое меньше гипотенузы. У такого треугольника угол равен 600.II уровень сложности. Задача 1. Какой из всех параллелограммов с заданными диагоналями а и b имеет наибольшую площадь? Решение: Граничное значение переменной площади S параллелограмма ABCD непосредственно заметить трудно, но если эту переменную площадь выразить формулой S = АС• DK= ah, то легко заметить, что S = ah ≤ ab, так как h ≤  .Если использовать формулу S = abs'ma, то наибольшую площадь S нетрудно найти, граничное значение sin а хорошо известно. Задача 2. Расстояние от пункта А до пункта В 4 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С? Решение: Расстояние АС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ВС постоянное, то точка С принадлежит точкам окружности с R = ВС, В - центр. Легко заметить, какие граничные значения может принимать АС, т.е. 4 = АСг < ACi < AB + BCi = 12. Отсюда, max [AСi] = 12 km min [ACi] = 4 km Искомыми точками Ci являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в пункте В. Задача 3. Данный треугольник ABC разделить отрезком наименьшей длины на две равновеликие части. Решение: Пусть а< а + b < 2b, т.е. b  . Отрезок MN и является искомым, так как он меньше наименьших отрезков, отсекающих треугольники с углами В и С:Таким образом, на сторонах наименьшего угла А треугольника ABC нужно построить точки М и N так, чтобы АМ= AN=  .III уровень сложности. Задача 1. На сторонах АВ и АС треугольника ABC найти соответственно точки М и N так, чтобы треугольник ABC делился отрезком MN на две равновеликие части и чтобы отрезок MN имел наименьшую длину. Решение: Пусть MN - искомый отрезок. Обозначим площадь треугольника ABC через S, тогда площадь треугольника AMN равна  S.AM = AN и MN =  Выразим отрезок AM через стороны b и с треугольника ABC. Так как площадь треугольника AMN составляет половину площади треугольника ABC, то АМ2 sin А=  b c sin A, откуда AM = .По условию точки M и N должны лежать на сторонах АВ и АС треугольника. Значит, полученное выражение для AM является решением задачи лишь при условии, что  не больше каждой из сторон b и с треугольника.Пусть b ≤ с, тогда ≤ b в том и только в том случае, если с ≤ 2b.Итак, если b < с < 2b, то на сторонах АВ и АС треугольника ABC строим точки М и N такие, что AM=AN = .Нетрудно показать, что если с > 2b, то искомым отрезком является медиана треугольника, проведенная к стороне с, причем длина этой медианы более  .Задача 2. На какое наименьшее число треугольных пирамид (тетраэдров) можно разбить куб? Решение. Куб ABCDA1B1C1D1 можно разбить на 5 тетраэдров: если отсечь от него тетраэдры BACВ1 и DACD1, A1B1D1А и C1B1D1С, то останется еще пятый тетраэдр ACB1D1. Он правильный. Попробуем установить, что меньше чем на 5 тетраэдров куб разбить нельзя. Допустим, что куб ABCDA1B1C1D1 разбит на некоторое число тетраэдров. При этом грань АВСD куба разбивается на части, являющиеся гранями не менее чем двух тетраэдров (квадрат АВСD может быть разбит на 2 или большее число треугольников ), причем сумма площадей оснований этих тетраэдров равна a2, а высота каждого из них не больше а, поэтому объемов примыкающих к грани АВСD тетраэдров разбиения не превосходит  а2 а= .Аналогично этому к грани A1B1C1D1 куба примыкает не менее двух тетраэдров, причем общий объем этих тетраэдров также не превосходит  .Так как ни один тетраэдр не может одновременно иметь граней, являющихся частью квадрата АВСD и частью квадрата A1B1C1D1 (ведь никакой тетраэдр не имеет параллельных граней!), то мы уже имеем не менее 4 тетраэдров, причем общее число тетраэдров не превышает 2  , то есть меньше объема а3. Отсюда и вытекает, что число тетраэдров не может быть меньше пяти.Задача 3. В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) – в результате пересечения конуса той же плоскостью. Решение. Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим. S=  ( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R - x)2 = 2Rx – x2/ Так как ∆ АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, MN2 =  .Следовательно S=  2x (3R – 2x),которое будет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R - 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е. х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно  .Занятие 3 Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы». Тип: Комбинированный урок. Цели: Обучающая: Отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами. Развивающая: Развитие мышления в процессе перевода словесной информации в математические символы, развитие ответственности и добросовестности во время индивидуальной работы. Воспитательная: воспитание объективного отношения к результатам своей работы, эстетическое восптание.. Задачи: обзор методов решения экстремальных задач – геометрических и аналитических, рассмотрения аналитического метода решения задач с использованием квадратичной функции. Рассмотрение конкретных задач, решаемых этим методом. Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями. План урока
Ход урока:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 |
Разработка системы "Автоматизированное решение задач механики" В данном дипломном проекте рассмотрены вопросы автоматизированного решения задач механики. Было рассмотрено решение четырех типов... |
|
Уроке химии и математики по теме: «Решение задач на процентную концентрацию... В химии и других естественных науках тренировка сводится к решению задач. При решении стандартных задач используется определенный... |
 |
Решение текстовых задач (в соответствии с алгоритмом, приведенным выше) Познавательные (постановка и решение проблемы) ) универсальные учебные действия |
|
«Химия и жизнь» Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг приоритетных... |
|
Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач |
|
Порядок разработки планирующих и Для решения данных задач создаются органы управления и, в частности – постоянно действующие органы управления, специально уполномоченные... |
|
Лабораторная работа №1 Тема : Решение задач линейного программирования... Тема: Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью ms excel |
|
Типовые правила использования сети Интернет в образовательной организации Использование сети Интернет в образовательной организации направлено на решение административных задач и задач учебно-воспитательного... |
|
Отчет Главы наслега за 2014 год Основная деятельность наслежной администрации... Основная деятельность наслежной администрации в 2014 г была направлена на решение следующих задач |
|
Решение задач. Записать ответы тестового задания. Анализ преподавателем... Образовательные: продолжить формировать умения решать генетические задачи, выработать у студентов практические навыки и умения при... |
|
Решение некоторых прикладных задач сферической геометрии в среде электронных таблиц |
|
Решение задач по математике Учебно-методический комплекс рабочая... Курс по выбору выполняет функцию поддержки основного курса «Курс общей и экспериментальной физики» и ориентирован на углубление предметных... |
|
Преобразование графиков функций 4 Решение экзаменационных задач по информатике с использованием программной среды КуМир 9 |
|
«Детская школа искусств №6» Приказ о назначении сотрудника, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны |
|
Решение наиболее сложных задач на server-side Определение технических требований и технологий для реализации проектов компании |
|
Решение частных задач Формировать знания об истории возникновения Олимпийских игр; учить технике метания предмета на дальность |