«Решение задач на экстремум»
|
Скачать 1.1 Mb.
|
 ( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R - x)2 = 2Rx – x2/ Так как ∆ АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, MN2 =  .Следовательно S=  2x (3R – 2x),которое будет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R - 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е. х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно  .Метод оценки. Суть метода состоит в следующем. Рассматривается конкретная геометрическая фигура F, выделяется одна или несколько величин, которые характеризуют данную фигуру. Требуется оценить выделенную величину или совокупность величин, то есть доказать, что величина Z удовлетворяет одному из неравенств вида: Zm, (1) где т и М определяются условием задачи. Для решения задачи требуется установить справедливость одного из неравенств (1), то есть доказать, что для каждого Z, принадлежащего одному из неравенств (1), фигура F существует и ни для одного числа Z, не удовлетворяющего неравенству, фигура F не существует. Заключительным этапом решения задачи является определение экстремальных значений т и М. Задачи, имеющиеся в учебниках геометрии, чаще всего решаются методом оценки. Пример 1: Примером может послужить такая задача. Расстояние от пункта А до В 4 км, а от В до С в двое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С. Решение: Расстояние АС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ЕС постоянное, то точка С принадлежит точкам окружности с R = BC, В - центр. Легко заметить какие граничные значения может принимать АС,4 = АС2 < AСi <�АВ + BCi = 12. Отсюда, наибольшее: [АСi] = 12км; наименьшее: [АСi ] = 4 км. Искомыми точками Сi являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в точке В. Пример 2: На озере, имеющем форму круга, расположен объект длиной ОА. В каком месте на берегу должен остановиться наблюдатель, чтобы наилучшим образом рассмотреть объект ОА (О - центр круга)? Решение: Пусть М - произвольная точка окружности k. Ставится задача оценить величину угла AMiO. Если M  k, а С МiА и МiА  ОС, то0° < АМiO < AM'О так как ОС ≤ ОА. Задача имеет два решения: max(  AMiO) =AM'О= AM'iО,где ОА M'M'iПример 3: Рассмотрим еще задачу об экономном расходовании материалов. Попытаемся установить, для какой крыши (двускатной или четырехскатной) потребуется больше кровельного материала. Решение: Будем считать, что оба ската двускатной крыши наклонены к горизонтальной плоскости под углом φ, скаты 1 и 2 четырехскатной крыши – под тем же углом φ, а 3 и 4 – под углом α. При этих предположениях и указанных на чертеже размерах площадь двускатной крыши будет равна  , а четырехскатной -  . Для сравнения этих площадей рассмотрим разность их  . Здесь b>0, m>0, 0<�α<900 и 0<�φ<900. Поэтому при α<�φ получим S2-S1<0, при α=φ будем иметь S2-S1=0, а при α>φ S2-S1<0. Следовательно, если все скаты как двускатной, так и четырехскатной крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то кровельного материала понадобится одинаково на обе крыши. Если же скаты 3 и 4 четырехскатной крыши будут иметь больший угол наклона, чем скаты 1 и 2, то для четырехскатной крыши кровельного материала понадобится больше, чем для двускатной, а при меньшем угле – меньше.Алгебраический подход к решению задач Встречаются такие задачи на отыскание наибольшей и наименьшей величины, которые оптимальнее всего решать методами элементарной математики. Использование квадратичной функции При решении задач этим методом мы будем опираться на следующую теорему: Теорема 1. Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а<0 - наибольшее значение, равное тоже (4ас-b2)/4. Эти наименьшие и наибольшие значения получаются при х = - b/2а. Доказывается эта теорема с помощью выделения полного квадрата. Приведем примеры. Пример: Найти наименьшее значение функции  и построить ее график. Поиски решения. Данную функцию можно изобразить аналитически так:  Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции. Решение: Очевидно, что  Обозначив дробь  буквой u, получим: Искомое наименьшее значение равно  и получается оно при  т.е. прих = 1 Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой 
Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать. Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что  Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к 1. Пример 2: Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам. Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей? Поиски решения. Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р. Решение. Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P - 2x. Площадь сечения будет равна х (Р - 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р - 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх. Очевидно, что  Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8. Пример 3: Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=4x+6|x-2|-x2 на отрезке [-1;3]. Решение: y=-( x2-4x+4-4)+ 6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4. Так как а2=|а|2, то y= -|x-2|2+6|x-2|+4. Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно, min y(t)=y(0)=4, max y(t)=y(3)=13. [0;3] [0;3] Если t=0, то x=2. Если t=3, то |x-2|=3  Но по условию х [-1;3], поэтому остается только значение х=-1.Ответ: min y(х)=y(2)=4, max y(х)=y(-1)=13. [-1;3] [-1;3] Оценок и неравенств Теорема 2. Функция х +  , где а > 0 и x > 0, имеет наименьшее значение равное 2 . Это наименьшее значение получается при х = . или   Очевидно, что  .Отсюда следует, что наименьшее значение получается при х – 2 =  , т.е. при х = 6, а само наименьшее значение равно 10.Теорема 3. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения. Доказательство. Пусть х и у - положительные переменные величины и пусть х + у = с, где с - постоянная величина. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим:  или, наконец,  Отсюда очевидно, что наибольшее значение произведения ху равно с2/4 и получается оно при х = у. Теорема 4. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения. (Эта теорема является обобщением теоремы 3.) Доказательство. Пусть х1, х2, …, хn - положительные переменные величины и пусть х1 + х2 + … + хn = с, где с - постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:  Отсюда х1х2…хn≤(с/n)n ( здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда х1 = х2 = …= хn). Следовательно, наибольшее значение произведения х1х2…хn равно (c/n)n и получается оно при х1 = х2 = …= хn. Теорема доказана. Пример 1: Найти наибольшее значение функции х4(32-х4). Поиски решения. Данная функция принимает отрицательные значения при  , а при  -положительные. Поскольку ее наибольшее значение надо искать среди значений х меньших , чем  Если мы положим х4 = у, то задача сведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени, имеющего вид: - у2 +32у. Однако если проявить наблюдательность и заметить, что сумма множителей х4 и (32 - х4) является величиной постоянной, то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачу проще.  Пример 2: Найти наибольшее значение функции 3х2 - 2х3 при 0<�х<3/2. Поиски решения. Во-первых, выясним, почему здесь на независимую переменную х наложены ограничения. Если допустить, что х<0, то данная функция не будет иметь наибольшего значения, так как она будет неограниченно возрастать при неограниченном возрастании абсолютной величины аргумента х, принимающего отрицательные значения. Например, при х = -1000 значение данной функции будет равно 3 10002 + 2 10003. Если же допустить, что х>3/2, то окажется, что 3х2 - 2х3<0. При значениях же х, заключенных между нулем и числом 3/2, все значения данной функции будут положительными. Поэтому наибольшее значение надо искать при таких значениях х, которые удовлетворяют неравенствам 0<�х<3/2. Если мы запишем нашу функцию в виде х2 (3 - 2х), то увидим, к сожалению, что сумма сомножителей х2 и (3 - 2х) не постоянна. И вот тут-то надо проявить изобретательность и записать данную функцию в виде произведения трех сомножителей, а именно так: х х (3 - 2х). Решение. Очевидно, что 3х2 - 2х3 = х2(3 - 2х) = х х (3 - 2х). При условиях нашей задачи в последнем произведении все три множителя положительны и их сумма равна 3, т.е. является величиной постоянной. По теореме 4 наша функция будет иметь наибольшее значение при условии, что х = х = 3 - 2х, т.е. при х = 1. И само наибольшее значение нашей функции будет равно тоже 1. Если мы положим, например, х = 5/4, то значение нашей функции окажется равным 25/32, т.е. окажется меньшим единицы. Пример 3: Найти наибольшее значение функции  y=4  на интервале (-∞; ).Решение: y=4  = = =2x-1+ .Так как по условию х<1/2, то 2х-1<0 и  <0. Воспользуемся неравенством | at+b/t | ≥2 для случая t<0. Тогда y=2х-1+  ≤-2 , причем знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда2х-1=  , и 2х-1<0 .И последней системы находим х=  Ответ: max y(x)=y(  )=-2(-∞; )2.2 Универсальный метод решения задач на экстремумы Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой, довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать» подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ. Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма. Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов Теорема Ферма очень наглядна. И все же докажем ее. Пусть х0 - точка максимума функции у = f(x), т.е. при х = х0 эта функция принимает наибольшее значение. Дадим х0 достаточно малое приращение h. Новое значение аргумента х0 + h будет достаточно близким к х0, и т.к. при х = х0 данная функция имеет максимум, то f(x0+h)-f(x0)≤0. Поэтому  Если же дать х0 отрицательное приращение (достаточно малое по абсолютной величине), то получим:  Оказалось, что одно и то же число f '(x0) не положительно и неотрицательно. Это означает, что это число равно 0, т.е. f '(x0) = 0. Рассуждения в случае минимума аналогичны. Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0. Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х. Как же из этих «подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы? Как для выделенных значений установить вид экстремума? По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой. Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.
Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы. Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в «подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение. Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример. Пример 1: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади) Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади. Решение. Площадь пластины S = xy. За независимую переменную примем х (0<�х≤100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует:  Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2). Пример 2: (Задача о скорости течения воды в трубе) По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой). Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля. При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей? Решение: Воспользуемся обозначениями: α - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах), F- площадь этого сечения и R- гидравлический радиус. Тогда площадь сегмента OABC равна ½ r2α, а площадь треугольника AOB равна  Поэтому  Смоченный периметр равен rα, а значит, R=  Эта формула будет верна и в том случае, когда α будет больше π. Вообще, α может меняться от 0 до 2π. Найдем R'и составим уравнение для нахождения критических значений α. Получаем  но α ≠ 0, поэтому sin α - α cos α = 0, или tg α = α. Полученное уравнение может быть решено графически. Единственный корень его α ≈ 4,5, или α ≈ 2580. Нетрудно сообразить, что производная от R, равная при переходе через α ≈ 4,5, меняет знак с + на -. Значит, при α ≈ 2580 скорость течения будет наибольшей. Пример 3:(Задача о наибольшем количестве теплоты). Рассматривая основной метод решения задач на экстремум, мы ограничивались функциями, имеющими во всех точках области определения производную. Но экстремум может достигаться функцией и в такой внутренней точке области определения, где производная не существует. Такими точками являются точки излома графика, угловые точки и, в частности, может быть точки, разделяющие график на части, задаваемые разными формулами. Приведем пример. На электроплитке кипятится чайник. Установить, когда он обладает наибольшим количеством теплоты. Для облегчения решения будем считать коэффициент полезного действия плитки равным 100 %. Отсчет времени проведем с момента, когда чайник был поставлен на плитку. Пусть в этот момент чайник обладал q калориями теплоты. Количество теплоты (в калориях), выделенное плиткой, выражается функцией Q = 0,24J2Rt, где J- сила тока в амперах, R- сопротивление в Омах и t- время нагревания в секундах, а количество теплоты в чайнике в момент времени t равно q + 0,24J2Rt. Когда чайник закипит (в момент времени t0), вода начнет испаряться. Известно, что на образование одного грамма пара уходит 539 калорий. За одну секунду плитка выделит теплоты 0,24J2R калорий, которая идет полностью на парообразование. Поэтому за 1 секунду выкипает  воды, и с ней уносится из чайника  калорий (множитель 100 здесь появляется потому, что температура кипящей воды 1000 С). Если t > t0, то выкипевшая вода унесет из чайника 0,041J2R(t - t0) калорий и останется q + 0,24J2Rt0 - 0,041J2R(t - t0) = -0,041J2Rt + q + 0,281J2Rt0 калорий. Значит, количество теплоты в чайнике выражается функцией  График этой функции состоит из двух прямолинейных участков. Угловой точкой его является точка А, в которой функция не имеет производной. По графику видно, что рассматриваемая функция имеет максимум при t = t0, равный 0,24J2Rt0 + q. Подведем итог. Для разыскания экстремальных значений функции нужно прежде всего найти все локальные экстремумы. С этой целью нужно найти все стационарные точки, для каждой из них воспользоваться достаточными условиями минимума и максимума и вычислить экстремум в этих точках. Далее нужно вычислить значение функции в точках (если функция в них определена), где не существует производная от данной функции. Из всех найденных таким образом значений функции надо выбрать наибольшее и наименьшее. Можно поступать и иначе. Сначала вычислить значения рассматриваемой функции во всех “подозрительных” (в отношении существования экстремумов) точках: стационарных, концевых и где не существует производная. Наибольшее и наименьшее из этих чисел и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции. </0></0></0></900> |
Похожие:
 |
Разработка системы "Автоматизированное решение задач механики" В данном дипломном проекте рассмотрены вопросы автоматизированного решения задач механики. Было рассмотрено решение четырех типов... |
|
Уроке химии и математики по теме: «Решение задач на процентную концентрацию... В химии и других естественных науках тренировка сводится к решению задач. При решении стандартных задач используется определенный... |
 |
Решение текстовых задач (в соответствии с алгоритмом, приведенным выше) Познавательные (постановка и решение проблемы) ) универсальные учебные действия |
|
«Химия и жизнь» Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг приоритетных... |
|
Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач |
|
Порядок разработки планирующих и Для решения данных задач создаются органы управления и, в частности – постоянно действующие органы управления, специально уполномоченные... |
|
Лабораторная работа №1 Тема : Решение задач линейного программирования... Тема: Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью ms excel |
|
Типовые правила использования сети Интернет в образовательной организации Использование сети Интернет в образовательной организации направлено на решение административных задач и задач учебно-воспитательного... |
|
Отчет Главы наслега за 2014 год Основная деятельность наслежной администрации... Основная деятельность наслежной администрации в 2014 г была направлена на решение следующих задач |
|
Решение задач. Записать ответы тестового задания. Анализ преподавателем... Образовательные: продолжить формировать умения решать генетические задачи, выработать у студентов практические навыки и умения при... |
|
Решение некоторых прикладных задач сферической геометрии в среде электронных таблиц |
|
Решение задач по математике Учебно-методический комплекс рабочая... Курс по выбору выполняет функцию поддержки основного курса «Курс общей и экспериментальной физики» и ориентирован на углубление предметных... |
|
Преобразование графиков функций 4 Решение экзаменационных задач по информатике с использованием программной среды КуМир 9 |
|
«Детская школа искусств №6» Приказ о назначении сотрудника, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны |
|
Решение наиболее сложных задач на server-side Определение технических требований и технологий для реализации проектов компании |
|
Решение частных задач Формировать знания об истории возникновения Олимпийских игр; учить технике метания предмета на дальность |