«Решение задач на экстремум»
|
Скачать 1.1 Mb.
|
|
Глава 2. Применение уровневой дифференциации в обучении математики на примере темы «Задачи на экстремумы» §1 Дифференциация обучения 1.1 Понятие дифференциации Обучение всех школьников по единым программам не позволяет ребенку получить образование на уровне своих возможностей. Для кого-то оказывается непосильным даже средний уровень требований, а кто-то, наоборот, недополучает знаний. Введем понятие дифференциации. Это слово происходит от латинского differentia - различие, разделение. Что же разделяется в процессе обучения? Разделяются, а точнее, выделяются отдельные группы учащихся, обучение которых строится по-разному. Для чего выделяются эти группы? Ответив на данный вопрос, мы определим цели дифференциации. В условиях классно-урочной системы, без введения дифференциации процесс обучения, организуется одинаково для всех учащихся и оказывается, по-разному эффективен для них. Общие интеллектуальные способности учеников разные, разная у них и обучаемость кто-то может очень быстро усвоить новый материал, кому-то нужно гораздо больше времени, большее число повторений для закрепления его, для кого-то предпочтительнее слуховое восприятие новой информации, для кого-то зрительное. Есть ученики, обладающие хорошо развитым логическим мышлением и хорошо усваивающие предметы естественно-математического цикла, но не испытывающие склонности и интереса к гуманитарным дисциплинам. А есть ученики с хорошо развитым образным мышлением, глубоко чувствующие, но... не любящие математику, физику, химию. Конечно, можно учить столь разных индивидов одинаково, но качество образовательного процесса, естественно, снизится. Дифференциация обучения позволяет организовать учебный процесс на основе учета индивидуальных особенностей личности, обеспечить усвоение всеми учениками содержания образования, которое может быть различным для разных учащихся, но с обязательным для всех выделением инвариантной части. При этом каждая группа учеников, имеющая сходные индивидуальные особенности, идет своим путем. Процесс обучения в условиях дифференциации становится максимально приближенным к познавательным потребностям учеников, их индивидуальным особенностям. Немаловажной задачей процесса обучения является развитие ученика: его интеллектуальной, эмоционально-ценностной, волевой сфер. Организуя дифференцированное обучение, мы усиливаем развивающие функции процесса обучения: например, в естественно-математических классах будет обращаться внимание на развитие таких мыслительных операций ученика, как анализ, синтез, выявление закономерностей и т.п., таких элементов творческой деятельности, как видение и формулирование проблемы, выдвижение гипотез, их проверка и т.д. В гуманитарных классах больше внимания будет уделено развитию образного мышления, выразительности речевых средств и т.д. В классе коррекционно-развивающего обучения на первый план выступят задачи развития тех школьно-значимых функций, которые не достаточно развиты у ученика. Таким образом, цель дифференциации процесса обучения - обеспечить каждому ученику условия для максимального развития его способностей, склонностей, удовлетворения познавательных потребностей и интересов в процессе усвоения им содержания общего образования. Указанная формулировка целей дифференциации свидетельствует, что характерным для нашего понимания дифференциации является выделение ее направленности на максимальное развитие каждого ученика, создание ему комфортных условий образовательного процесса. Дифференциация не направлена на селекцию детей и отбор самых талантливых с предоставлением им наиболее благоприятных условий развития. В условиях дифференциации педагог так видоизменяет процесс обучения, чтобы и менее способные дети смогли максимально развить свои способности и склонности и успешно освоить инвариантное содержание образования. Учитывая все вышесказанное, в понимании дифференциации можно выделить три основных аспекта: 1.Учет индивидуальных особенностей учащихся. 2.Группирование учеников на основании этих особенностей. 3.Вариативность учебного процесса в группах. Любые ли особенности нужно учитывать при дифференциации? Конечно же, нет, только те, которые важны для организации процесса обучения. Например, цвет глаз или волос ребенка учитываться не будут, тогда как скорость протекания нервных процессов, преобладающий тип памяти, сформированность интеллектуальных операций - в условиях дифференциации учитываются. Рассмотрим кратко те особенности, которые следует учитывать в первую очередь при дифференциации учебной работы. Сюда относится, прежде всего, уровень умственного развития учащегося. Это понятие включает предпосылки к учению (обучаемость - способность достигать в более короткий срок более выгодного уровня усвоения) и приобретенные знания (обученность). К понятию обучаемости близко понятие общих умственных способностей. Под ними обычно понимается комплекс способностей, требуемых для осуществления учащимися учебной деятельности. Сюда относится способность запоминать материал, способность проведения логических операций, способность творческого мышления. С умственными способностями тесно связана способность учащихся самостоятельно усваивать, знания, предполагающая наличие у них соответствующих интеллектуальных умений. Следующей важной особенностью является скорость усвоения - комплексное явление, существенный показатель которого не столько скорость запоминания, сколько темп обобщений. Кроме умственных способностей в учебной работе проявляются и специальные особенности, а также одаренность детей (прирожденные задатки для формирования способностей). Школьные программы построены так, что все последующее опирается на уже пройденное, усвоенное. На каждом этапе обучения приобретаются соответствующие знания, вырабатываются определенные умения и навыки. Умственные способности представляют собой потенциальные возможности для учения, полученные же знания, являются базой для реализации способностей. При обучении предмету следует учитывать также индивидуальные различия в знаниях. Эти различия могут быть вызваны тем, что кто-то из учащихся может владеть предметом (например, школьник дополнительно обучается в музыкальной или художественной школе). Кроме личностных психологических факторов на учебный процесс свое влияние оказывают: - социальные факторы (статус ученика в классе, домашняя обстановка); - состояние здоровья ребенка. Болезни, в зависимости от их характера, оказывают на учащегося временное или постоянное отрицательное воздействие, снижают его трудоспособность; и многое другое. Резюмируя сказанное, можно выделить следующие обобщенные особенности учащихся, которые в первую очередь следует учитывать при индивидуализации учебной работы: 1) обучаемость, т.е. общие умственные способности, а также специальные способности; 2)учебные умения; 3)обученность, которая состоит как из программных, так и внепрограммных знаний, умений и навыков; 4)познавательные интересы; 5)социальные факторы. Обратимся к практике дифференциации, которая в настоящее время представлена множеством различных проявлений, попытаемся их систематизировать. Конкретные проявления дифференциации мы называем формами дифференцированного обучения, которые могут быть объединены в виды и реализовываются на различных уровнях. Виды дифференциации определяются, исходя из тех индивидуально-типологических особенностей учащихся, которые в данном случае учитываются. Традиционно выделяются следующие виды дифференцированного обучения: по общим и специальным способностям, по интересам, склонностям, по проектируемой профессии. Понимание дифференциации по общим способностям предполагает учет уровня общих способностей учащихся, т.е. низкий уровень их развития и будет являться основанием для дифференциации по неспособностям. К традиционным видам дифференциации в настоящее время добавилась дифференциация по национальному признаку, когда создаются специальные школы для детей различные национальностей, например в г. Москве — это армянские, грузинские, еврейские школы (сейчас они называются школами с этнокультурным компонентом); по религиозной принадлежности — православные школы, есть школа ведической культуры «Гурукула»; по социальному и имущественному положению родителей — в некоторых негосударственных образовательных учреждениях могут учиться только дети обеспеченных родителей, т.к. велика плата за образование. Дифференциация может осуществляться на различных уровнях. Обычно выделяют три уровня: I-й микроуровень, когда различный подход осуществляется к отдельным группам детей внутри класса. Этот уровень дифференциации иногда называется внутренней или внутриклассной. II-й мезоуровень – уровень школы, когда дифференциация осуществляется внутри школы между отдельными классами, профилями, направлениями. III-й макроуровень - дифференциация между школами, создание различных типов школ. Второй и третий уровень представляют собой дифференциацию внешнюю. Разновидностью внутриклассной дифференциации по общим способностям является уровневая дифференциация. Остановимся на ней белее подробно. 1.2 Уровневая дифференциация Очень плотно уровневой дифференциацией занимались Г.В. Дорофеев, В.В. Фисов и др. Организацию учебного процесса с учетом уровневой дифференциации они назвали разноуровневым обучением. Оно выражалось в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на разных уровнях. Определяющем при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом. При такой дифференциации учитель четко выделяет содержание учебного материала, который ученики должны усвоить, занимаясь на том или ином уровне, и перед началом изучения темы должен познакомить учеников с результатами которых они должны достичь (т.е. с планируемыми результатами обучения). В основе данного вида дифференциации лежат не только общие способности учеников, но и их интересы. Ученик может выбрать минимальный уровень изучения предмета не потому что не способен изучить его глубже, а потому что его интересы лежат в другой познавательной области. Предлагая обязательные результаты обучения, их авторы исходили из того, что в процессе обучения учителя всегда ориентировались на максимум содержания материала. Если ученик полностью осваивал этот максимум, его знания оценивались 5 баллами, если был незначительные пробелы или неточности - 4 баллами и т.д. Добросовестный ученик был ориентирован именно на максимум знаний и изо всех сил старался его усвоить. Это вызывало у него перегрузку, так как на максимум знаний надо было усвоить по всем предметам. Авторы идеи уровневой дифференциации предложил перейти в процессе обучения от ориентации на максимум содержания к ориентации на его минимум. При этом необходимым является четкое определение того минимума, которым должен овладеть ученик и без которого он не сможет двигаться дальше в изучении данного предмета. Это минимальный уровень общих требований, который задается в виде перечня понятий, законов, закономерностей, которые ученик должен уметь решать. Определяется также содержание, которое необходимо усвоить ученику на повышенных уровнях. Каждый ученик получает право и возможность самостоятельно определять, на каком уровне он усвоит учебный материал. Важно, что бы этот уровень не был ниже уровня обязательной подготовки. Авторы концепции уровневой дифференциации выдвинули ряд условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного ее осуществления:
Если цели известны и посильны ученику, а их достижения поощряется, то подросток стремится к их выполнению, т. е. формируются положительные мотивы учения, сознательное отношение к учебной работе; можно привлечь самооценку ученика для организации дифференцированной работы.
Эти идеи легли в основу проекта стандарта школьного образования, в котором требование к математической подготовке школьников задается на двух уровнях: уровне обязательной подготовки и уровне, условно названном, уровнем возможностей. Уровень обязательной подготовки характеризует тот минимум, который должны получить все учащиеся и определяет нижнюю допустимую границу результатов математического образования. Уровень возможностей характеризует результаты, к которым могут стремиться и достичь учащиеся, изучающие общеобразовательный курс. Таким образом, введение стандарта полностью соответствует концепции уровневой дифференциации, предполагая наличие хотя бы двух уровней овладения материалом: обязательного и повышенного. Однако, количество уровня овладения материалом может быть увеличено. В работах современных авторов обычно идет речь, как минимум, о трех (и более) уровнях. На сегодняшний день в дидактических и методических исследованиях разработаны различные подходы к выделению основных уровней учебного материала. Обычно методисты выделяют 3 уровня усвоения знаний по математике: - общекультурный, прикладной и творческий. Они считают, что для учеников, овладевших первым уровнем, математика является лишь элементом общего развития, и в их дальнейшей производственной деятельности будет использоваться в незначительном объеме. Для учащихся второго уровня математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности. Учащиеся третьего уровня выберут математику(или близкие к ней области знания ) в качестве основы своей будущей деятельности. Поэтому для учащихся первого уровня «существенно овладение общей математической культурой », для учащихся второго уровня «существенны не только знания о математических фактах, навыки логического мышления, пространственные представления, но и прочные навыки решения математических задач». Учащиеся третьего уровня должны творчески овладеть основами математики. 1.3 Плюсы и минусы уровневой дифференциации Традиционные программы, учебные планы, учебники и дидактические средства, требования, методы и формы, являясь одинаковыми для всех школьников, отодвигают на задний план изучение и учет индивидуальных особенностей. Сегодня во многих школах страны уже в первом классе учащихся распределяют по классам (потокам) возрастной нормы, ускоренного обучения, повышенного индивидуального внимания, коррекции, выравнивания. Правда, такой подход, особенно ранняя дифференциация, вызывает немало нареканий. Считают, что разделение на потоки вызывает снобизм у сильных учащихся и чувство неуверенности и собственной неполноценности у слабых. Жесткая дифференциация учащихся на способных, средних и слабых с последующим длительным пребыванием в разных по содержанию и методам обучения классах, имеет не только плюсы, но и существенные минусы. Смысл уровневой дифференциации заключается в том, чтобы адаптировать учебный процесс к познавательным возможностям каждого ученика, предъявить соответствующие уровню его развития требования, программы, учебники, методы и формы обучения. Почти каждый ребенок идет в школу с большим желанием учиться, однако очень скоро у значительной части школьников это желание пропадает, учеба превращается в тяжелую повинность. Причина очевидна: им предложены такие условия обучения и предъявлены такие требования, которые превышают уровень их развития. Этого можно избежать, если с первых школьных лет каждый ребенок окажется в однородной среде, в которой он чувствует себя комфортно, а учеба сопровождается успехом. Но проведение уровневой дифференциации уже в начальной школе должно быть обставлено одним непременным условием: потоки (группы) должны быть динамическими, то есть на определенном этапе обучения наиболее успевающие или, напротив, неуспевающие учащиеся должны своевременно переводиться в классы соответствующего уровня. §2 Методические основы обучения решению задач на экстремумы 2.1 Задачи на экстремумы в школьном курсе математики (обзор учебников) Задачи на экстремумы в курсе алгебры 7-9 классов. В основном, в школьных учебниках алгебры встречаются такие задачи, в которых с помощью известных методов приходят к однозначному ответу, удовлетворяющему условиям задачи. Решение задач на экстремумы проходит в два этапа: - на первом этапе текст задачи переводится на математический язык в виде функции, которая допускает много или бесконечно много решений; - на втором этапе по тем или иным признакам, определяется какое из решений задачи наиболее выгодно. Посмотрим решение задач на экстремумы на примерах учебников А.Г. Мордковича и Ш.А.Алимова. Сначала рассмотрим серию учебников под редакцией А.Г. Мордковича, Т.Е. Мишустина, Е.Е. Тульчинской. В 7 классе учащиеся первый раз сталкиваются с задачами на экстремум при изучении координатной прямой. Здесь им приходится решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке. В 8 и 9 классах учащиеся продолжают сталкиваться с задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значения при изучении квадратичной функции, функции у=  , у= (8 класс) и при изучении темы «Неравенства» (9 класс). Здесь ученикам приходится решать задачи, как на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения функций вида у=на отрезке.В серии учебников под редакцией Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. курс алгебры 7-9 классов построен иначе, в этой серии с задачами на экстремум учащиеся сталкиваются только в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции, неравенств и систем уравнений с 2 неизвестными. Задачи на экстремумы в курсе алгебры 10-11 классов. Фактически все задачи на экстремумы, с которыми учащимся приходится сталкиваться в курсе алгебры 10-11 классах, решаются основным методом - с помощью производной. В учебнике «Алгебра и начала анализа », под редакцией А. Н. Колмогорова, производной и ее применению уделена одна из самых больших глав. Авторы сначала дают понятие производной, рассматривают правила ее вычисления, а после этого в учебники приведены различные задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения. В учебниках «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакцией Н.Я. Виленкина, производной тоже уделено много времени, но учащимся предлагаются задачи более высокого уровня сложности (учебник рекомендован для школ и классов с углубленным изучением математики). Если говорить о серии учебников под редакцией А.Г. Мордковича, Т.Е. Мишустина, Е.Е. Тульчинской, то мы видим, что, начиная с 7 класса общеобразовательной школы, учащиеся приступают к знакомству с экстремальными задачами. Это происходит при изучении координатной прямой, задач на нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке. В 8-9 классе к уже полученным знаниям, навыкам и умениям добавляются задачи на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения функций вида у= на отрезке.Отметим, что также есть учебный курс алгебры, выстроенный иначе. Он представлен в серии учебников под редакцией Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. Следуя этому курсу, учащиеся сталкиваются с задачами на экстремум в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции, неравенств и систем уравнений с 2 неизвестными В 10-11 классах общеобразовательной школы учащиеся знакомятся с еще одним методом решения задач на экстремумы - с помощью производной. К слову, в учебнике «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н.Колмогорова, для изучения производной и ее применения автор отводит одну из самых больших глав. В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакцией Н.Я..Виленкина производной также уделяется немало времени, но предлагаются задачи более высокого уровня сложности, поскольку данный учебник рекомендован для специализированных математических школ или классов. 2.2 Методика обучения решению задач Для того чтобы учащийся понимал, как решать задачу, он должен в первую очередь понимать, что такое задача. Задача — проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, т.е. то, что требуется сделать. Поиск решения задачи можно представить в виде плана, выполняя который мы прейдем к нужному результату:
Теперь давайте рассмотрим каждый из этих пунктов более подробно: 1. В первом пункте нам предстоит ответить на множество вопросов: Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи, или они недостаточны, или же чрезмерны? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или задачей, решающейся проще, а может быть и сразу? Ответив на эти вопросы мы сможем разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определённую роль. 2. Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестным и данными. Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи. Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным. 3. Выполнение во всех деталях тех алгебраических или геометрических действий, которые вы предварительно сочли выполнимыми. Проверяя правильность каждого шага либо при помощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрений, либо, если это возможно, обоими способами. Если задача сложная, можно разбить её на «большие» и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых. Тем самым мы сможем добиться решения, каждый шаг которого будет, без сомнения правилен. 4.Проверяя решение задачи нам вновь приходится ответить на некоторые вопросы: Правдоподобен ли результат? Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату, более прямому? Какие результаты ещё можно получить на том же пути? Ответив на эти вопросы мы возможно сможем найти новое, лучшее решение, можем обнаружить новые интересные факты. Таким образом, решая задачу мы даём ответ на вопрос этой задачи, но во время поиска этого решения нам нужно дать ответ на другие вопросы возникающие во время работы с задачей. Итак, вернёмся к задачам на отыскание экстремальных значений функции на промежутках. Из обзора школьных учебников учебников можно сделать вывод, что знакомство с задачами на экстремум начинается с решения задач на нахождение наименьшего и наибольшего числа на взятом промежутке, либо значения функции на отрезке. Постепенно задача усложняется, появляются задачи на вычисление наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения квадратичных функций. И уже в 10 – 11 классах после знакомства с производными, ученики начинают решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения сложных степенных функций, решать прикладные задачи. Требования стандарта образования к умениям и навыкам учащихся гласят, что учащиеся должны уметь:
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
Исходя из требований стандарта можно сделать вывод, что учащиеся должны владеть элементарными навыками математического моделирования и в частности, уметь применять математический аппарат при решении задач на отыскание наибольших и наименьших значений различных величин при заданных условиях. Таким образом реализуется прикладная направленность обучения математике и осуществляются межпредметные связи с другими дисциплинами. В первую очередь учащиеся должны владеть универсальным методом решения задач на оптимизацию, методом, включающим в себя построение некоторой функции и отыскание ее экстремумов с помощью производной. Алгоритм решения задач этим методом включает в себя три основных этапа: Первый этап. Составление математической модели:
Второй этап. Работа с составленной моделью. На этом этапе для функции у=f(х), хХ находится унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Получение конкретного ответа на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью. Помимо универсального метода решения задач на экстремумы, полезно было бы познакомить учащихся и с методами решения этих задач, опирающимися на сведения из элементарной математики (метод перебора, метод преобразования плоскости, метод оценок и неравенств). Эти методы предполагают алгебраический или геометрический подход к решению задачи, тем самым актуализируя знания учащихся из курса алгебры и геометрии и развивая их математическую интуицию. Таким образом, в понятие задачи на экстремумы входит очень широкий спектр задач, весьма разнообразных по уровню сложности, а значит, в этом задачном материале возможно и весьма полезно провести уровневую дифференциацию таких задач. Т.е. распределить предъявляемые учащимся задачи по уровням сложности и использовать эту дифференциацию при проведении практических занятий с учащимися. |
Похожие:
 |
Разработка системы "Автоматизированное решение задач механики" В данном дипломном проекте рассмотрены вопросы автоматизированного решения задач механики. Было рассмотрено решение четырех типов... |
|
Уроке химии и математики по теме: «Решение задач на процентную концентрацию... В химии и других естественных науках тренировка сводится к решению задач. При решении стандартных задач используется определенный... |
 |
Решение текстовых задач (в соответствии с алгоритмом, приведенным выше) Познавательные (постановка и решение проблемы) ) универсальные учебные действия |
|
«Химия и жизнь» Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг приоритетных... |
|
Урок 34. Решение задач на применение признаков подобия треугольников Создать условия для формирования у учащихся навыков применения признаков подобия треугольников при решении задач |
|
Порядок разработки планирующих и Для решения данных задач создаются органы управления и, в частности – постоянно действующие органы управления, специально уполномоченные... |
|
Лабораторная работа №1 Тема : Решение задач линейного программирования... Тема: Решение задач линейного программирования и анализ чувствительности с помощью ms excel |
|
Типовые правила использования сети Интернет в образовательной организации Использование сети Интернет в образовательной организации направлено на решение административных задач и задач учебно-воспитательного... |
|
Отчет Главы наслега за 2014 год Основная деятельность наслежной администрации... Основная деятельность наслежной администрации в 2014 г была направлена на решение следующих задач |
|
Решение задач. Записать ответы тестового задания. Анализ преподавателем... Образовательные: продолжить формировать умения решать генетические задачи, выработать у студентов практические навыки и умения при... |
|
Решение некоторых прикладных задач сферической геометрии в среде электронных таблиц |
|
Решение задач по математике Учебно-методический комплекс рабочая... Курс по выбору выполняет функцию поддержки основного курса «Курс общей и экспериментальной физики» и ориентирован на углубление предметных... |
|
Преобразование графиков функций 4 Решение экзаменационных задач по информатике с использованием программной среды КуМир 9 |
|
«Детская школа искусств №6» Приказ о назначении сотрудника, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны |
|
Решение наиболее сложных задач на server-side Определение технических требований и технологий для реализации проектов компании |
|
Решение частных задач Формировать знания об истории возникновения Олимпийских игр; учить технике метания предмета на дальность |