Вологды Департамент Гуманитарной политики Управление образования муниципальное учреждение дополнительного образования детей

Математическая эстафета «Математический биатлон» Цель: Развитие устойчивого интереса к математике Классы:11 классы Время проведения: 1ч.30 мин. Форма проведения: соревнование-эстафета Деятельность учащихся: игра Формы отслеживания результатов: судьи ведут записи на доске Формы поощрения: призы Задания. 1. В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями - елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного - одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного - тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома? 2. В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел. 3. На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата). Можно ли расставить числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны? 4. Найти натуральные решения уравнения 1/x + 1/y = 1/4. 5. По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1. a) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию. б) Сколько различных таких наборов существует? Решения, получающиеся друг из друга поворотом окружности, считаются одинаковыми. 6. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой - до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино? 7. Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24. 8. В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12? 9. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения.) 10. На координатной плоскости построена парабола y=x2. Затем начало координат и оси стёрли. Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)? Решения. 1. Вокруг замка посажены сосны, ели и березы. Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев (неважно, сосна это, или ель). Назовем его деревом 1 и перенумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 96 и 2 - одно хвойное, другое - лиственное (т. е. - береза). Будем для определенности считать, что дерево 2 - береза, а 96 - хвойное. Рассмотрим дерево 96. Справа от него - хвойное (дерево 1), значит слева - 95 - береза. Через два дерева от 1 (т. е. 3 и 95) должны быть береза и хвойное. Поскольку 95 - береза, то 3 - хвойное. У дерева 3 два соседа - 2 и 4. Поскольку 2 - береза, то 4 - хвойное. Теперь видно, что все время повторяется группа из трех деревьев - БХХ - береза и два хвойных. Всего деревьев 96, значит эта группа повторится 32 раза. Итак, вокруг замка посажено 32 березы. 2. Введем систему координат на плоскости, так чтобы оси шли по линиям клеток, а начало координат было в любом узле. Тогда координаты любого узла имеют вид (a,b), где a и b -целые числа. Заметим, что середина отрезка с концами в точках (a,b) и (c,d) имеет вид ((a+c):2;(b+d):2). Четные числа обозначим буквой Ч, а нечетные числа - Н, тогда для обозначения узла у нас есть четыре возможности (Ч,Ч), (Ч,Н, (Н,Ч), (Н,Н). Так как точек 5, то есть, по крайней мере, два узла имеют одинаковый вид (принцип Дирихле) - они то и будут искомыми. 3. Предположим, что нам это удалось. Тогда на каждой из граней куба стоит одно из пяти чисел: -4, -2, 0, 2 или 4. Но граней шесть, значит, на каких-то двух гранях стоит одно и то же число; противоречие. Значит, так расставить числа нельзя. 4. Имеем x = 4y/(y – 4) = 4 + 16/(y – 4). Учитывая, что x и y натуральные, 16 должно делиться на y – 4, откуда получаем возможные значения y – 4 = 1, 16. Кроме того, x и y должны быть положительными. В итоге получаем решения (20, 5); (12, 6); (8, 8); (6, 12); (5, 20). 5. Поскольку каждое из выписанных чисел равно модулю разности двух других, а модуль любой величины всегда неотрицателен, то все числа должны быть неотрицательны. Пусть наибольшее из них равно x. Два следующих за ним числа должны быть не больше x и различаться на x. Это возможно лишь в случае, когда одно из них равно x, а другое — нулю. Итак, в каком-то месте должны стоять либо числа x, x, 0, либо числа x, 0, x. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы однозначно восстановим остальные числа. В обоих случаях получается один и тот же набор — x, x, 0, x, x, 0. Из условия, что сумма всех чисел равна 1, находим x = ¼. 6. Пусть расстояние от Ёлкино до Палкино n километров (по условию, n-целое). Занумеруем столбы от Ёлкино до палкино по порядку. Рассмотрим 9-й столб, т. е. столб, отстоящий от Ёлкино на 9 километров (ясно, что n>10). Тогда с одной его стороны написано 9, а с другой: n-9. На следующем столбе с одной стороны написано 10, а с другой: n-10. Если бы n оканчивалось не на 9, то n-9 оканчивалось бы не на 0, а значит суммы цифр чисел n-9 и n-10 были бы равны, но тогда на 9-ом столбе сумма цифр была бы на 8 больше, чем на 10-ом, что невозможно. Значит, n заканчивается на 9. Если n>49, то сумма цифр на 49-ом столбе будет больше 13. Значит, для n есть только такие возможности: 19, 29, 39, 49. Если n=19, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+1+0=10 - противоречие. Если n=29, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+2+0=11 - противоречие. Если n=39, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9+3+0=12 - противоречие. Остаётся только одна возможность: n=49. Легко проверить, что в этом случае на всех столбах сумма цифр будет равна 13. 7. Пусть x и y — искомые числа. По условию : = 25 : 24, т.е. + = . Положим q = . Тогда q + = , т.е. q2 - q + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим q1 = 4/3 и q2 = 3/4. Таким образом, x : y = 16 : 9 или 9 : 16. 8. Сначала постараемся понять, почему в стандартном наборе домино именно 28 косточек. Для этого нарисуем табличку из косточек. Здесь на каждой косточке первая цифра соответствует номеру ряда (начиная нумерацию с нуля), а вторая - номеру столбца, в котором эта косточка находится. Вдоль каждой стороны расположены семь косточек. Значит, всего их здесь 7?7 = 49. При этом все "дубли" встречаются по одному разу, а все "не дубли" - по 2 раза. "Дублей" всего 7 (от 0-0 до 6-6), следовательно, "не дублей" в обычном домино (49 - 7) : 2 = 21. А всего косточек в наборе 7 + 21 = 28. Если все номера будут изменяться не от 0 до 6, а от 0 до 12, то "дублей" будет 13, рядов косточек в табличке - по 13, и общее число "не дублей" составит (13 13 - 13) : 2 = 78. Всего же косточек, т.е. "не дублей" вместе с "дублями", будет (78 + 13) = 91. 9. Всего в классе 26 человек, число друзей у каждого может быть от 0 до 25, т. е. всего 26 вариантов, но варианты, когда у кого-то 25 друзей, а у другого - ни одного, одновременно не выполнимы, тем самым, всего вариантов одновременно может быть не больше 25. По условию задачи, у Петиных одноклассников реализованы все 25 вариантов. Пусть у кого-то 25 друзей. Исключим его из дальнейшего рассмотрения. Тогда получим ситуацию, когда у Пети 25 одноклассников, у всех по-прежнему разное число друзей в классе, причём нет человека, который дружит со всеми (он дружил бы и с исключённым, т. е. со всеми в первоначальном классе, что не соответствует условию задачи). Значит, найдётся человек, у которого нет друзей. Его можно исключить из дальнейшего рассмотрения. Получим ситуацию, когда у Пети 24 одноклассника, у всех разное число друзей, причём нет человека, который не дружит ни с кем. Так, исключая по очереди тех, кто дружит со всеми (в оставшемся классе) или ни с кем, мы придём к тому, что у Пети останется один одноклассник, который с Петей дружит. При этом среди всех, которые ушли из школы, у Пети было 12 друзей, всего, стало быть у него в этом классе было 13 друзей. Случай, когда первоначально в классе есть человек, у которого нет друзей, рассматривается аналогично, и в этом случае у Пети 12 друзей. Ответ 12 или 13. 10. Лемма. Пусть M и N - середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1). Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых y = kx + a и y = kx + b, тогда абсциссы точек A, B, C, D - это корни уравнений x2 = kx + a и x2 = kx + b, а абсциссы точек M и N - полусуммы корней этих уравнений, т. е. по теореме Виета k/2. Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy. Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, ось Ox - это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой. Методические рекомендации Математическая эстафета помогает выявить наиболее способных учащихся одного возраста из разных классов. Эстафета - состязание командное и проводится между классами одной параллели. Каждый класс собирает команду из своих "лучших математиков", например, в составе 10 человек. Дата мероприятия объявляется за одну-две недели до его проведения. Организаторы эстафеты заранее готовят задания и упражнения (по числу игроков в команде). Каждое задание оформляется на отдельной карточке и предназначено для одного ученика. Подборка задач и их порядок для всех классов одинаковые. Допустим, в эстафете участвуют две команды. Перед зрителями ставятся четыре стола, рядом с которыми находится по наблюдателю с часами. По ходу соревнования члены одной и той же команды по очереди занимают свой стол. Наблюдатель фиксирует время начала и окончания решения задачи каждым учеником. Сначала к столам приглашаются первые номера команд (очередность выступления игроки устанавливают сами). Участники одновременно приступают к решению предложенной задачи. Решение тут же проверяется; если оно правильное, ученик немедленно покидает стол, передавая эстафету второму игроку своей команды, и т.д. Может случиться так, что какой-то ученик ошибется или вообще будет не в состоянии справиться с заданием, поэтому следует заранее ограничить время его выполнения (например, 15 мин.) Для учета результатов эстафеты около каждого стола ведет наблюдение за решением хорошо знающий математику член жюри. По ходу соревнования результаты и время выполнения заданий фиксируется на изготовленном табло. Победителем состязания признается тот класс, чья команда быстрее других сделала верно все задачи. Математический хоккей «Логические задачи и числовые головоломки» Цель:1)развитие логического мышления, 2)воспитание умения работать в команде. Классы:5 классы Время проведения:50 мин Форма проведения: соревнование-эстафета Деятельность учащихся: игра Формы отслеживания результатов: судьи ведут записи на доске Формы поощрения: призы Задания. 1.Петя и Аня отмечают свой день рождения 16 марта, но Петя родился, когда Ане исполнилось 3 года. Сколько лет будет Пете, когда Аня будет вдвое его старше? 2.Во дворе школы играют 19 девочек и 12 мальчиков. Какое количество ребят должно к ним присоединиться, чтобы все они могли разбиться на 6 равных команд? 3.Пятеро друзей выясняли, какой сегодня день недели. Андрей сказал: "Позавчера была пятница". Володя сказал: "Послезавтра будет вторник". Сережа: "Вчера была суббота". Дима сказал: "Завтра будет понедельник". Егор: "Сегодня четверг". Один из них ошибся. Кто? 4. Найти закономерность, по которой построена последовательность чисел 1, 3, 7, 13, и написать одно следующее число. 5. Найдите закономерность и напишите одно следующее число: 1, 2, 5, 11, 23. 6. Маша играла «в магазин», и с удивлением обнаружила, что яблоко с двумя апельсинами и апельсин с двумя яблоками весят одинаково. Она подумала: «Что же легче яблоко или апельсин ? » Помогите Маше. 7.В корзине лежат 5 яблок. Разделите их между пятью лицами, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось бы в корзине. 8. Экипаж, запряженный тройкой лошадей, проехал за час 15 км. С какой скоростью бежала каждая лошадь? 9. Двое играли в шахматы четыре часа. Сколько играл в шахматы каждый? 10. В семье пять братьев. У каждого из них есть сестра. Сколько детей в семье? 11. Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причем каждому досталось целое яйцо. Могло ли такое случится? 12.Шел мужик в Москву и повстречал 7 богомолок, у каждой из них было по мешку, а в каждом мешке- по коту. Сколько существ направлялось в Москву? 13.Сколько месяцев в году содержат 30 дней? 14.Горело пять свечей, две погасли. Сколько свечей осталось? 15.Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток? 16. Расшифруй ребус: хххх – ххх = 1. 17. Сумма двух чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение? 18. Сумма трех чисел четна. Четно или нечетно их произведение? 19.Площадь квадрата 25 кв.см. Сторону квадрата увеличили на 3 см. найти площадь полученного квадрата. 20. Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 мин. За сколько минут муравьишка проедет на жуке расстояние в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз больше скорости гусеницы? Ответы. 1. 3 года. 2. 5 3. Егор 4. 21 5.47 6.равный вес 7. Одному дать яблоко в корзине. 8. 15 9.4 10.4 11Их трое: дед, отец и сын. 12. 1 мужик 13. Все, кроме февраля. 14. 2 15. 3 16.1000-999=1 17. Четно 18. Четно 19. 64 см2 20. 16 Методические рекомендации. Эту увлекательную игру лучше всего поводить среди учащихся 5 классов. В ней принимают участие две команды - по 5 человек в каждой. В каждой команде должен быть один "вратарь", два "защитника" и два "нападающих". Преподавателю нужно иметь большой список простых задач, в основном вычислительного характера, на решение которых у школьников не должно уходить более пяти минут. В начале игры шайба (воображаемая; впрочем, можно изобразить хоккейное поле и шайбу на доске) находится в центре. Вбрасывание состоит в том, что "полевым игрокам" обеих команд предлагается первая задача списка. Побеждает команда А, быстрее нашедшая правильное решение, - шайба перемещается в зону проигравшей команды В. Тут уже противостоят друг другу нападающие команды А и защитники команды В - их спор решается при помощи второй задачи. В зависимости от того, кто побеждает, игра перемещается обратно в центр или на вратарский "пятачок", где против нападающих команды А играет лишь голкипер команды В. Если и он терпит поражение (при решении очередной задачи из списка), это означает, что счет в матче открыт - 1:0 в пользу команды В, и игра начинается заново. В противном случае шайба возвращается на вбрасывание в зоне команды В и так далее. Можно считать, что игровое поле состоит из пяти частей, и шайба в любой момент игры находится в одной из них. В зависимости от исхода каждого игрового эпизода на перемещается либо влево, либо вправо в соседнюю часть.

Похожие:

	Образовательная программа дополнительного образования объединения «Радиолюбитель» Управление образования муниципального района Туймазинский район муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования		Образовательная программа детского объединения «Тестопластика» Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей Центр дополнительного образования детей «Уникум» г о г....
	Образовательная программа дополнительного образования детей «юные туристы-спасатели» Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей		Доклад о результатах деятельности муни­ципального автономного образовательного... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования детей
	Образовательная программа дополнительного образования детей «За здоровый образ жизни» ...		«согласовано» общим Советом трудового коллектива моу дод цдод протокол от «01» 09 2014г. №1 Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей: Центр дополнительного образования детей
	Отчет о результатах самообследования деятельности маоудод «цдт» за... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования детей		Программа дополнительного образования детей культурологического направления Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей
	Правила внутреннего трудового распорядка для работников Муниципального... Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Детско-юношеский центр»		Места массового пребывания людей Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей»...
	Министерство культуры РФ управление культуры, спорта и молодежной... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования		Департамент образования атмр Муниципальное образовательное учреждения дополнительного образовании детей дюсш №1
	1 Муниципальное образовательное автономное учреждение дополнительного... Муниципальное образовательное автономное учреждение дополнительного образования «Центр развития творчества детей и юношества «Радуга»...		Приказ №21 от 20. 04. 2015г. Отче т по самообследованию мбоу дод... Полное наименование: Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного...
	1 Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования... Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования детей Специализированная детско-юношеская спортивная техническая школа...		Самообследование муниципального бюджетного учреждения дополнительного... Наименование оу в соответствии с уставом: муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования детей Станция юных натуралистов...