Волгоградская государственная академия повышения квалификации и
переподготовки работников образования
Кафедра теории и методики обучения математике и информатике
Развитие умений и навыков моделирования и динамического подхода при изучении математики как средство повышения качества
обучения школьников
Квалификационная работа соискателя
высшей квалификационной категории:
Чеметевой Ольги Александровны,
учителя математики
МКОУ СОШ №3 г. Николаевска
Волгоградской области
Волгоград 2013
Введение
Геометрия всегда была и остаётся одним из самых сложных предметов среди школьных дисциплин. На текущий момент познавательный интерес к изучению геометрии с каждым годом уменьшается. Причина в том, что не у всех учащихся развиты пространственное мышление и математическая логика. Слишком много в геометрии абстрактных понятий и утверждений, многим учащимся трудно представит, как всё происходит. Учитывая это, гуманизация образования требует, чтобы дифференциация обучения математике, в частности геометрии, учитывала потребности всех школьников не только сильных, но и тех, кому это предмет дается с трудом, чьи интересы лежат в других областях. Для того, чтобы привить интерес учащихся к геометрии, на своих уроках и во внеурочной деятельности я использую программы динамической геометрии для дополнительного развития образного мышления учащихся. И уже несколько лет в школьный компонент учебного плана нашей школы входит предмет динамическая геометрия, который изучается в 7-9 классах.
На сегодня имеется уже несколько десятков программ этого типа, среди которых я хочу отметить программы, с которыми работаю сама: «Живая Математика» – русская версия «TheGeometer'sSketchpad» (GSP4), а также бесплатная русифицированная программа GeoGebra (Австрия) и программная среда российских разработчиков — «1С: Математический конструктор». Они неоценимы с первых шагов при изучении геометрии. Моделирование в динамической среде позволяет ввести в учебный процесс математический эксперимент, дифференцировать обучение учащихся, интегрировать различные темы, более широко использовать точечные и иные преобразования. Надлежащий подбор динамических моделей с учетом возрастных особенностей учащихся предоставляет новые возможности для опережающего обучения и пропедевтики.
Возможности работы современных программ динамической геометрии весьма разнообразны. Они позволяют создавать высококачественные чертежи и выполнять преобразования фигур, строить геометрические места точек и графики функций, динамически зависящие от параметров, широко использовать координаты. В дополнение к инструментам для создания динамических чертежей эти программы содержат и инструменты для создания презентаций на их основе. Они рассчитаны не только на поддержку школьного курса геометрии и алгебры, но и на динамическую работу с евклидовой и неевклидовой геометрий, алгеброй, тригонометрией, приближенными вычислениями и расчетами. Основные виды деятельности учащихся в любой программе динамической геометрии – это наблюдения, эксперименты, конструирование. Можно обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, самостоятельно формулировать утверждения для последующего доказательства, подтверждать уже известные факты, применять их на практике и развивать понимание теории.
Динамическая геометрия позволяет ученикам изучать — а точнее, понимать математику такими средствами, которые просто не возможны с помощью традиционных инструментов, она расширяет и углубляет изучение математики.
Рассмотрим динамическую геометрию как средство изучения математики и формирования геометрических представлений учащихся.
В 5-6 классах я работаю по УМК Г.К. Муравина и О.В. Муравиной, который реализует концепцию развивающего обучения. Уже в 5 классе происходит знакомство учащихся с основными геометрическими фигурами, стереометрическими телами и их свойствами. И хотя оно носит преимущественно эмпирический характер, многие испытывают затруднения в изучении геометрического материала в силу своих индивидуальных особенностей и возможностей. Например, решение следующей задачи всегда вызывало у большинства пятиклассников затруднение:
построить прямую CD, луч EF и отрезок AB так, чтобы прямая CD пересекала луч EF и отрезок AB, а луч EF не пересекал отрезок AB. Чтобы преодолеть возникшее затруднение, мы с ребятами сначала выполнили это задание в программе «Живая математика». Ребята сами построить необходимые объекты и затем манипулировали ими, добиваясь выполнения необходимых условий. После этого решение аналогичной задачи в тетради уже не вызвало затруднений.
А когда я показала, как можно рисовать в «Живой математике» с помощью построения геометрических фигур и выполнения действий с ними, развернулось целое соревнование. У девочек – куклы и цветы, а у мальчиков – ракеты и машины. Всем без исключения понравилось создавать смайлики, а также разнообразные орнаменты. Чтобы создать красивый узор, учащимся приходится применить все свои умения и навыки в построении геометрических фигур. Верх мастерства было создание статичного рисунка, не меняющегося при манипуляции с ним. Эти ребята учатся уже в 8 классе, но до сих пор с удовольствием принимают участие в конкурсе рисунков в рамках недели математики.
Среда динамической геометрии позволяет продемонстрировать то, что на обычных уроках продемонстрировать было бы трудно или невозможно. Например, методом наложения убедиться в равенстве фигур или провести эксперимент на их сравнение. С помощью следов и анимации можно наглядно показать получение тел вращения, а готовые интерактивные стереочертежи позволят развернуть многогранники на плоскости, вращать и изменять их размеры, сворачивать развертку обратно. Все эти действия просты и наглядны.
В Приложении №1 приведены примеры заданий, направленных на изучение геометрического материала в 5-6 классах. Основная часть заданий выполняется на основе заранее подготовленного электронного дидактического материала. Для каждого задания приводится его условие, вопрос и указания по выполнению. В результате экспериментальным путем учащиеся устанавливают различные математические факты.
Таким образом, визуальный метод динамической геометрии позволил младшим школьникам приобретать необходимый опыт манипуляции математическими объектами. Они были подготовлены к восприятию геометрии в 7 классе.
Рассмотрим, как динамические компьютерные модели могут быть использованы в решении некоторых типов конструктивных геометрических задач.
В динамической среде все геометрические фигуры «оживают», над ними можно произвести различные преобразования, все расстояния, углы и площади легко измеряемы. Но главное, можно взять мышкой точку на созданном вами чертеже и перемещаете ее. При этом изменяется первоначальное изображение, модель принимает совсем иные формы. Ребята, используя эти возможности, самостоятельно начинают подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, делать свои первые открытия в математике. Известно, что факты, открытые учащимися самостоятельно, усваиваются ими лучше, чем преподнесенные учителем в готовом виде. (Приложение №2 урок по теме «Углы, связанные с окружностью»)
Геометрия без теорем немыслима, но именно с ними связаны основные проблемы наших учеников. Надо им помочь - смоделировать теорему, только она при этом на некоторое время сменит свой ранг: станет гипотезой. Глядя на изменяющийся чертеж, учащиеся выделяют те его свойства, которые сохраняются при вариации. На уроках динамической геометрии в 8 классе учащиеся, построив точку пересечения серединных перпендикуляров треугольника и манипулируя его вершинами, приходят к выводу, что точка пересечения серединных перпендикуляров не всегда лежит внутри треугольника, а при определённых условиях, либо совпадёт с одной из сторон, либо выйдет за пределы треугольника, при этом расстояния от точки пересечения серединных перпендикуляров до вершин треугольника всегда равны. Таким образом, происходит подготовка к формулировке и доказательству теоремы об описанной около треугольника окружности.
К традиционной форме освоения материала можно отнести «чертежи-задачи». Они отличаются по степени активности учащихся. Самая простая форма – предоставляется готовая конструкция и инструкция-текст, разворачивающийся по мере ответов. Более сложная форма предусматривает самостоятельные построения по ходу решения задачи. При подготовке таких чертежей используются возможности появления подсказок, в зависимости от действий учащихся.
Сердцем динамической геометрии является реализация идеи "Оживления чертежа". Анимация и презентация из нескольких действий создают демонстрационный «фильм», который начинает работать при открытии и не требует никаких действий от учащихся. Например, можно продемонстрировать различные виды преобразования фигур: поворот, симметрию и др.
Появляется возможность ввести в учебный процесс творческую составляющую: конструирование, эксперимент, исследование. И если для сильных учащихся среда предоставляет уникальные возможности попробовать свои силы в задачах повышенной трудности и самостоятельном исследовании, то проведение экспериментов могут быть рекомендованы самым слабым учащимся.
Особое место в геометрии занимают задачи на построение, которые трудны в своем решении, построении. На уроке обычно, на такие задачи тратится много времени, качество построений у учащихся очень низкое (циркуль не слушается, срывается, карандаш тупой, линия жирная). Совсем другое дело, если такие задачи решать в динамической среде. Все измерения становятся точными, построения быстрыми, и ученики заботятся лишь об алгоритме решения задачи, который затем проверяется с изменением исходных данных. Проверяя решение задачи (на построение), проиллюстрированное обычным рисунком, учитель должен проанализировать все рассуждения ученика – сам рисунок не даёт учителю никакой информации о правильности решения. Когда же ученик строит чертёж в программе динамической геометрии, правильность построения моно проверить, потянув мышкой за вершины. Например, если ученик правильно построил трапецию (Приложение №3), она останется трапецией, как бы мы ей не манипулировали. Такая устойчивость показывает, что построение верное. В приложении №4 показан пример решения задачи на построение с помощью «Математического конструктор» с этапом исследования.
Задачи на нахождение геометрических мест точек в школьном курсе геометрии рассматривается немного. Это не значит, что эти задачи неинтересны. Дело в том, что они непросты в своём решении и трудны в проверке полученного результата. Всё становится намного проще и понятнее, если воспользоваться возможностями динамической геометрии. Перед геометрическими рассуждениями можно построить модель задачи с использованием анимации и следов, и увидеть результат, к которому надо стремиться, т.е. получить искомое геометрическое место точек до математических рассуждений. Например, в 7 классе удобно использовать метод следов при определении окружности и круга через понятие геометрического места точек. Как во всякой задаче на построение, в конце решения задачи на нахождение геометрического места точек необходимо провести исследование, т.е. выяснить, при любых ли данных задача имеет решение и как оно зависит от этих данных. Модель в этом случае поможет провести исследование.
Живая математика и другие программы рассчитаны, в основном, на планиметрию, но в них прекрасно можно демонстрировать задачи стереометрии. Нужно ли говорить о том, как важно именно во время изучения основ стереометрии, научить учеников понимать чертеж. У многих учащихся плохое пространственное воображение, им трудно решить задачу, так как не могут построить чертеж к ней. На помощь приходят «живые» стереочертежи. Можно воспользоваться готовой моделью из компьютерного альбома «Стереометрия», входящего в УМК «Живая математика» или «1С. Математический конструктор» или с помощью шаблона построить свои модели к задачам. В любой момент можно включить вращение конструкции вокруг одной или нескольких осей и, выбрав новый ракурс изображения, проверить правильность выполненных построений. 
Такая работа способствует формированию у учащихся умения уверенно выполнять построения более сложных чертежей, часто встречающихся при решении задач ЕГЭ, например, задачи на построение сечений многогранников. Эти задания отличаются от обычных тем, что "поворотный механизм", встроенный в динамический чертеж, позволяет учащимся легче находить нужную последовательность построений и, что очень важно, контролировать их правильность "на ходу", т.к. он выявляет наиболее распространенную ошибку – использование мнимых "точек пересечения" скрещивающихся прямых. Можно протестировать и результат построения: если сечение построено правильно, то в подходящем ракурсе все его точки должны оказаться на одной прямой. 
На уроках алгебры очень полезна программа при работе с различными графиками функций. В процессе исследовательской деятельности на компьютере, учащиеся приходили к выводам: о расположении графиков линейной функции, в зависимости от коэффициентов - о параллельности, пересечении или совпадении таковых; о сдвигах графиков функций относительно осей координат, о существовании корней квадратного уравнения, в зависимости от дискриминанта при рассмотрении данной квадратичной функции. В учебном фильме в сети творческих учителей я показала возможность совместного применения на уроке алгебры инструментов ИД и динамической среды для проведения преобразований графиков функций. А возможность построения графиков функций, зависящих от параметра, и исследование их при изменении параметра делает решение алгебраических задач с параметрами, одних из самых сложных в 11 классе, более наглядными и, стало быть, доступными в решении.
Опыт показывает, что среда динамической геометрии является эффективной поддержкой школьного курса геометрии и алгебры, уроков и факультативных занятий. И даёт в руки мощный инструмент для формирования метапредметных умений учащихся, например, таких, как: умение проводить эксперимент, умение формулировать гипотезу, умение анализировать и обобщать полученную в ходе исследования информацию. Эта среда как программирование в ней надо мыслить, чтобы получить результат.
Я работаю с программой уже несколько лет и уже не представляю, как раньше обходилась без неё. Из 24 учащихся 8А класса, в котором я работаю, программа установлена у 85% учащихся, а в 10А классе – у 100%. Одному из учеников или нескольким, по желанию, каждый урок даю задание подготовить чертежи ко всем задачам домашней работы. При этом оценивается динамичность (существование чертежа со всеми своими возможными деформациями) и соответствие чертежа условиям задачи. А домашнее задание на построение сечений на компьютерах выполняет весь класс. Опыт показал высокую эффективность заданий в этой форме.
Применение компьютерного эксперимента влечет за собой повышение качества обучения, так как:
повышает запоминаемость материала;
обеспечивает возможность изучения математики на основе деятельностного подхода;
повышает степень эмоциональной вовлеченности учеников.
