Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Ю.

Скачать 81.85 Kb.

Название	Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Ю.
Тип	Литература

rykovodstvo.ru > Руководство ремонт > Литература

Литература

Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Высш. шк., 2003. – 520 с.
Королев В.Ю. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Ю. Королев. М.: Изд-во Проспект, 2006.– 160 с.
Гмурман В.Е.. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман – М.: Высш. шк., 2010. – 479 с.
Новикова Н.М. Обработка экспериментальных данных: учеб. пособие / Н.М. Новикова. 2-е изд., ВГТУ, 2010. . – 119 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2010.- 400 с.
Новикова Н.М., Ляликова В.Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей Часть 1 Воронеж Издательский дом ВГУ, 2014.-47 с.
Новикова Н.М., Ляликова В.Г. Руководство к решению задач по теории вероятностей Часть 2 Воронеж Издательский дом ВГУ, 2015.-54 с.

ЛЕКЦИЯ № 1

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей (ТВ) и математическая статистика (МС). - это прикладные математические дисциплины, которые занимаются методами обработки статистических данных с целью построения или уточнения вероятностной модели случайного явления.

Возникновение и развитие этих математических дисциплин определялось потребностями практики. В настоящее время эти методы широко используются в различных технических дисциплинах. Они играют важную роль в экономических исследованиях, сельском хозяйстве, биологии, медицине, физических науках, геологии, психологии, социологических исследованиях и др.

Возникновение теории вероятностей и математической статистики как науки относится к середине XVII века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695). Истинная история теории вероятностей начинается с работ Бернулли (1654-1705) и Муавра (1667-1754).

В XIX веке большой вклад в развитие теории и практики внесли Лаплас (1749-1827), Пуассон (1781-1840) и Гаусс (1777-1855). Следующий период в развитии теории вероятностей и МС связан с именами П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А.Маркова (1856-1922), А.М.Ляпунова (1857-1918).

Современный период развития связан с именами Колмогорова (1903-1987), Бернштейна (1880-1968), Мизеса (1883-1953) и Бореля (1871-1956). Теория вероятностей и математическая статистика являются мощным инструментом исследования. Эти теории находят большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Пример случайных явлений:

Одно и то же тело несколько раз взвешивается на весах, самых точных (аналитических). Результаты повторных испытаний - взвешиваний - несколько отличаются друг от друга. Это происходит за счет влияния многих факторов, как-то: положение тела и разновесок на чашках весов, вибрация аппаратуры, смещение головы и глаза наблюдателя и т.п.

Общим для всех случайных явлений является их непредсказуемость в отдельных наблюдениях. Поэтому для их описания и исследования необходимо построить математическую вероятностную модель, которая отражает эту особенность. Для построения вероятностной модели введем некоторые определения.

Опыт (эксперимент, испытание) - наблюдение какого-либо явления при выполнении определенных (фиксированных) условий.

Событие - факт, регистрируемый в результате опыта.

Случайное событие - такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Пространство элементарных событий: для данного опыта всегда можно выделить совокупность случайных событий, называемых элементарными. В результате опыта обязательно происходит одно и только одно из элементарных событий.

Пример. Подбрасывается игральная кость. Может выпасть одна из граней с числом очков «1», «2», «3», «4», «5» или «6». Выпадение грани - элементарное событие.

Элементарные события называют также исходами опыта. Совокупность всех возможных в данном опыте элементарных событий (исходов) называется пространством элементарных событий. Обозначение: W={w_i}, где W - пространство элементарных событий w_i.

Таким образом, любому опыту можно поставить в соответствие пространство элементарных событий. Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формировании вероятностной модели случайного явления.
Классификация событий
1. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте. Невозможному событию соответствует пустое множество, обозначение: Æ.

Пример. Æ= {выпадение ‘7’} при подбрасывании одной игральной кости.

2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (не может не произойти). Достоверному событию соответствует все пространство элементарных событий. Обозначение: W.

Пример: W={выпадение не более, чем ‘6’} при подбрасывании одной игральной кости.

3. События А₁, А₂,..., А_n называются несовместными, если в данном опыте никакие два из них не могут произойти вместе.

Пример. А₁ ={выпадение ‘6’}, А₂={выпадение нечетной грани}. А₁ и А₂ несовместные события в опыте по подбрасыванию одной игральной кости.

4. Событие B называется подсобытием или частью события A, если при проявлении события B обязательно происходит событие A .Обозначение: BÌA.

Пример. Подбрасывается игральная кость. A={выпадение четной грани}; B={выпадение‘6’}. Говорят также, что событие B влечет за собой событие A.

5. События A и B называются эквивалентными, если они могут появиться и не появиться только вместе. Обозначение: A=B. В этом случае AÌB и ВÌА.

6. Событием, противоположным (дополнительным к) событию A называется событие, заключающееся в не появлении события A. Обозначение:

.

Пример. A={выпадение четной грани},

={выпадение нечетной грани}. Очевидно

=А

7. События А₁, А₂,..., А_n образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно происходит хотя бы одно из них .

Действия над событиями

1. Объединением или суммой событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=АÈВ; C=A+B.

2. Пересечением или произведением событий A и B называется событие C, состоящее в появлении и события A и события B. Обозначение: C=AÇB; C=AB.

Разностью событий A и B называется событие C, состоящее в появлении события A и не появлении события B. Обозначение: C=A-B=A/B. Очевидно, что A-B=A

.
Свойства действий над событиями
1. Объединение и пересечение коммутативны :

AÈB = BÈA; AÇB = BÇA, или

A+B=B+A; AB=BA.

2. Объединение и пересечение ассоциативны :

(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC)=(AÈC) ÈB=AÈBÈC.

(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)=(AÇC)ÇB=AÇBÇC;

3. Объединение и пересечение событий дистрибутивны :

(AÈB)C=ACÈBC.

4. Для любых A и B справедливо

.

Обобщение на n событий:

.

5. Для любых A и B справедливо:

Обобщение на n событий:

.

Свойства 4 и 5 выражают принцип двойственности (или правила де-Моргана): операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям.

действия с противоположными событиями.

Объединение (сумма) полной группы событий А₁, А₂,..., А_n представляет собой достоверное событие:

=W.

9. Любое событие А можно разложить на сумму несовместных (непересекающихся) событий: A=AW=A(B+

)=AB+A

.

Нетрудно видеть, что операции (действия) над событиями тождественны операциям над множествами.
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЕЁ СВОЙСТВА
Вероятности случайных событий. Основные формулы теории вероятностей
Для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события вводится специальная числовая функция P(A), называемая вероятностью события А.

По классическому определению вероятности: вероятность некоторого события А есть отношение числа исходов N(A), благоприятствующих наступлению события А, к общему числу возможных исходов

=N, т.е.

(1)

Это определение используется, когда число возможных исходов опыта конечно и каждый исход равновозможен (например, при подбрасывании игральной кости).

Классическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

1.

;

2.

;

3. Если А и В несовместны и они имеют N(A) и N(B) благоприятствующих исходов соответственно, то

Пример 1 Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А={Число очков равно 6}, B={Число очков кратно трем}, С={Число очков четно}, D={Число очков меньше пяти}, E={Число очков больше двух}.

Решение.

. Общее число исходов N равно 6.

Для нахождения необходимых вероятностей сначала опишем множество возможных исходов для описанных событий: A={6}, B={3,6}, C={2,4,6}, D={1,2,3,4}, E={3,4,5,6}.

Теперь можно найти вероятности событий.

N(A)=1,

. N(B)=2,

. N(C)=3,

N(D)=4,

. N(E)=4,

.

Пример 2. Одновременно подбрасывается две монеты. Найти вероятность события А={хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение. Кажется, что в опыте три возможных исхода: {два герба}, {две решки} , {герб и решка}. Однако, эти события не равновозможны, последнее вдвое вероятнее первых двух, так как герб и решка могут появиться на разных монетах. Равновозможные исходы: {г,г}, {р,р}, {г,р}, {р,г}, n=4. Исходы приводящие к событию А: {г,г}, {г,р}, {р,г} n_A=3, Р(А)=0.75

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)

Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):

Р(А)³0 , для любого АÎA или АÎF

Каждому событию А соответствует неотрицательное число - вероятность этого события.

Аксиома №2 (аксиома нормировки):

Р(W)=1.

Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома №3 (аксиома аддитивности):

Если заданы события

такие, что

при i¹j, то

.

Свойства вероятностей
1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ)=0

2. Р(

)=1-Р(А)

3. Если АÌВ, то Р(А)£Р(В)

4. Р(А)£1 для любого А.

Теорема сложения вероятностей. Для любых А и В справедливо

Р(АÈВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема сложения вероятностей для n событий:

7. Если ВÌА, то Р(А-В)=Р(А)-Р(В)

Похожие:

	Рабочая программа по дисциплине «теория вероятностей и математическая статистика» Теория вероятностей и математическая статистика. Рабочая программа для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100...		Содержание курсовой работы Курсовая работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» имеет целью получение навыков самостоятельного анализа...
	Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для исполнения... Математическая статистика, эконометрика и актуарные расчеты		Курсовая работа по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика» К началу 2009 численность населения планеты составила 6,6 млрд человек. Согласно демографическим исследованиям, численность населения...
	Математическая статистика, эконометрика и актуарные расчеты		Математическая, физическая, гуманитарная, химико-биологическая и т д. Математическая одаренность Под предметной одаренностью понимается развитие уникальных способностей учащегося в определенных сферах знаний – математическая,...
	Программа раздел I. Введение в дисциплину «Правовая статистика» Тема... Общая теория статистики и отдельные отрасли статистики: экономическая — промышленности, сельского хозяйства, строительства транспорта,...		Математика Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] : учеб пособие / В. Н. Крупский. М. Иц "Академия", 2013. 416 с. (Высшее профессиональное...
	Единая голографическая информационна теория вселенной егитв Энергополевая информационная гологра-фичность природы мира и вселенной, как вечная и единая духовная, физическая и математическая...		Таможенное делопроизводство и таможенная статистика В республике Казахстан таможенная статистика позволяет более совершенно осуществлять валютный контроль, контроль за экспортно-импортными...
	Инструкция по установке выдержки из Руководства администратора ас «Статистика Роспотребнадзор» ФцгиЭ в разделе «Новая информация», на странице «ас статистика Роспотребнадзор» выложен «Дистрибутив…» системы, который содержит...		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... «Теория баз данных» требует предварительных знаний в следующих областях: дискретная математика, математическая логика, основы теории...
	Ю. В. Ирюпин к омплексная автоматизация управления предприятием Пзо комплексная автоматизация управления предприятием: Информационные технологии теория и практика / Ю. А. Петров, Е. Л. Шлимович,...		Учебно-методический комплекс наименование дисциплины Статистика Направление... Статистика: умк для заочной формы обучения в филиале в г. Калининграде / авт сост. Л. О. Сенчукова. – Ивэсэп, 2012
	Техническое задание на оказание услуг по системному сопровождению... Приложение описание структуры и функциональности текущей реализации гис статистика 26		Руководство пользователя арм правовая статистика Приказ №18 от 18.... Настоящий документ содержит описание процесса эксплуатации арм «Правовая статистика» (далее арм)

Руководство, инструкция по применению