Тригонометрических уравнений

Скачать 95.23 Kb.

Название	Тригонометрических уравнений
Тип	Реферат

Областное государственное автономное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Белгородский институт развития образования»

Методы решения

тригонометрических уравнений.

Проектная работа

Выполнил:

Простит Алексей Владимирович,

учитель математики и информатики

МОУ «Ближнеигуменская СОШ»

Белгородского района

Белгородской области

Руководитель:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель

кафедры естественно-

математического образования

и информационных технологий

Белгород, 2016
СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение…………………………………………………………………….3

Теоретическая часть……………………………………………………... 4-6

Практическая часть……………………………………………………… 5-12

Заключение……………………………………………………………… 12-13

Библиография…………………………………………………………… 13

Введение

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

О

т вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л.Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М.Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать их применение при решении задач различного содержания.
Теоретическая часть

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида

sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a

sin x= a, или	cos x= a, или

tg x= a

Частные случаи:

sin x = 0 , n-целое	cos x = 0 , n-целое
sin x = 1 , n-целое	cos x = 1 , n-целое
sin x = -1 , n-целое	cos x = -1 , n-целое
tg x = 0 nZ	Ctg x = 0 x = , nZ
tg x = 1 x = , nZ	ctg x = 1 x = , nZ
tg x = -1 x = , nZ	ctg x = -1 x = , nZ

Практическая часть

При решении тригонометрических уравнений необходимо привести уравнение к такому виду, чтобы слева стояла тригонометрическая функция, а справа число. После такого преобразования, надо найти значение аргумента функции.

Уравнение	Решение	Уравнение	Решение

Уравнение	Решение	Уравнение	Решение

tg x = – 1		ctg x = – 1

tg x = 0		ctg x = 0

tg x = 1		ctg x = 1

Применение «понижения порядка уравнения»

Пример 1

Пример 2

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Примеры:

№

1. 6cos² x + 5 sin x – 7 = 0. Решение:

№

2

№

3

Однородные уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

2tgx – 3 = 0;

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos²x (sin²x).

Например: 3 sin²x – 4 sinx*cosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0

Замена: tgx = у. 3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 или y₂ = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

х = arctg1 + πn, n ∈Z. x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.
Примеры:

№1

sinx + cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

tgx + 1 = 0;

tgx =

;

х = arctg (

) + πn, n ∈Z.

х =

+ πn, n ∈Z.
№2

sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.

Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у.

у² – 10у + 21 = 0

у₁ = 7 или у₂ = 3

tgx = 7 или tgx = 3

х = arctg7 + πn, n ∈Z х = arctg3 + πn, n ∈Z

№3

sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.

Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.

3у² – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у₁= 5 или у₂ = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

2х = arctg5 + πn, n ∈Z 2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х =

arctg5 +

n, n ∈Z х =

n, n ∈Z
№4

6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0.

5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.

т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = у.

5у² + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у₁ =

или у₂ = –1

tg x =

или tg x = –1

х = arctg

+ πn, n ∈Z х = arctg(–1) + πn, n ∈Z

х = –

+ πn, n ∈Z

Заключение.

Использование методов решения тригонометрических уравнений позволяет применять математические знания в практической деятельности, развивать умственные способности, выполнять различные самостоятельные работы.

Надо помнить, что для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значения тригонометрических функций для основных углов и значения обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений.

В данном проекте рассмотрены решения элементарных тригонометрических уравнений, которые наиболее часто встречаются в практике. Приведенные примеры не исчерпывают все способы решений тригонометрических уравнений.

Данный проект имеет практическую значимость, его материалы могут быть использованы в качестве учебного материала, при подготовке творческих работ и т.д.
Библиография

1. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.

2. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие – ООО "Тривиум", 2004. - 160с.

3. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 кл., 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с

4. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса, 8-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 176с.

4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7-11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.

5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2001 - 2008. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2008. - 192с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2006. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2006. - 64с.

Похожие:

	«Решение тригонометрических уравнений» Образовательная: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений; показать методы решения тригонометрических уравнений...		Тема урока : Решение тригонометрических уравнений Отработка умений и навыков учащихся с помощью опорных сигналов при решении простейших и сложных тригонометрических уравнений
	Уроке. Рекомендации классу Цель : закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений; показать методы решения тригонометрических уравнений с использованием...		«Решение простейших тригонометрических уравнений» Урок алгебры и начала анализа в 10-м классе с использованием модульной технологии обучения
	Учебник «решение тригонометрических уравнений» Во время набора текста группами верстальщик следит за единообразием и помогает в технических вопросах		Денещик Татьяна Борисовна Персональная карточка №102-735-350 Технологическая карта Мой друг! Сегодня тебе предстоит изучить основные методы решения тригонометрических уравнений
	Модели неустойчивого исторического развития Основные понятия математической теории хаоса формулируются на с помощью т н дифференциальных уравнений. Что это такое и как лучше...		Цель с применением знаний и навыков в области программирования написать... Одними из первых приспособлений изначально служили счётные палочки, которые используются и сегодня в начальных классах. Постепенно...
	Московский технологический колледж «Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований»		«Тригонометрические функции» Цель урока: систематизировать и обобщить знания о тригонометрических функциях. Продолжить подготовку учащихся к егэ
	"Решение уравнений" с применением технологии ркмчп 59 Международная педагогическая дистанционная конференция «Педагогика и образование», сборник статей, часть 4		2. Обоснована процедура сведения задачи факторизации матриц-функций... Наиболее важные результаты фундаментальных исследований, полученные в институтах спбнц ран за 2008-2009 годы
	История кафедр Радиотехнического факультета кафедра вычислительных... На кафедре работают 48 преподавателей, из них 5 докторов физико-математических наук и 25 кандидатов наук		Методическая разработка тренажера по математике для 6 7 класса по теме Тренажер предназначен для учащихся 6–7 классов с целью отработки и совершенствования навыков решения уравнений первой степени, содержащих...
	Приближенное решение некоторых дифференциально- операторных уравнений... Механика деформируемого твердого тела / Н. А. Гуреева; Волгоградский государственный аграрный университет; [науч рук. Ю. В. Клочков]....		Решение уравнений В программе maple прекрасный файл помощи. Вам придется часто им пользоваться для уточнения синтаксиса операторов. Вызывается через...

Руководство, инструкция по применению