МОУ «Сычёвская средняя общеобразовательная школа»
УЧЕБНИК
«РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
2011
Оглавление
Оглавление 2
ПАСПОРТ ПРОЕКТА 2
Простейшие тригонометрические уравнения 5
Из теории: 5
Частные случаи: 5
Из практики: 7
Для закрепления: 10
Уравнения, сводящиеся к квадратным 10
Для закрепления: 14
Однородные уравнения 15
Для закрепления: 19
Из истории 20
Литература 22
ПАСПОРТ ПРОЕКТА
Название проекта
|
«Тригонометрические уравнения»
|
Разработчики
|
11 класс
|
Название образовательного учреждения
|
МОУ «Сычёвская СОШ»
|
Год разработки учебного проекта
|
2011
|
Цель
|
Обобщение по теме: «Тригонометрические уравнения»
|
Задачи – этапы – способы решения
|
Создать мини-группы учащихся
Определить цели и подтемы
Подобрать материал, используя опорные конспекты и материалы уроков
|
Форма организации детей
|
Урочно-внеурочная
|
Ведущая деятельность
|
Исследовательский
Творческий
|
График работы
|
Краткосрочный (3 урока):
учитель задаёт цель работы,
распределяются учащиеся по группам,
работа по подбору материалу, используя учебники, рабочие тетради,
работа за компьютером по набору текста,
набранные страницы передаются верстальщику,
книга собирается в проект,
проект добавляется выполненной презентацией
защита проекта по группам
P.S. Во время набора текста группами верстальщик следит за единообразием и помогает в технических вопросах
|
Распределение групп
по тематике
|
1 группа – Простейшие тригонометрические уравнения
2 группа - Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным
3 группа – Однородные уравнения
4 группа – Создание презентации по теме
1 человек – Из истории
1 человек – Верстка книги
|
Простейшие тригонометрические уравнения
Из теории:
Частные случаи:
 
sin x=0
 , n-целое
|
cos x=0
 , n-целое
|
sin x=1
 , n-целое
|
cos x=1
 , n-целое
|
sin x=-1
 , n-целое
|
cos x=-1
 , n-целое
|
 
sin x= a, 
или
|
cos x= a,
или
|
|
|
tg x= a
|
Из практики:
Уравнение
|
Решение
|
Уравнение
|
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение
|
Решение
|
Уравнение
|
Решение
|
|
|
|
|
tg x = – 1
|
|
ctg x = – 1
|
|
|
|
|
|
tg x = 0
|
|
ctg x = 0
|
|
|
|
|
|
tg x = 1
|
|
ctg x = 1
|
|
|
|
|
|
№1
№2
Для закрепления:
Простейшие тригонометрические уравнения
В-1
Решить уравнение
а) cos x = -1
б) sin x = 
в) tg x = 1
г) 4 sin x – 4 = 0
|
В-2
Решить уравнение
а) cos x = 
б) sin x = 1
в) tg x = 
г) 4 sin x + 2 = 0
|
В-3
Решить уравнение
а) sin x = -
б) cos  = 0
в) sin 3x =
г) tg 5x = 1
д) сtg 4x + 1 = 0
|
В-4
Решить уравнение
а) cos x = - 
б) sin – 1 = 0
в) cos 2x =
г) сtg  = 
д) tg 2x – 1 = 0
|
В-5
Решить уравнение
а) 2 cos x + = 0
б) sin x =
в) tg x = 
г) сtg (+  ) =
|
В-6
Решить уравнение
а) tgx – 1 = 0
б) sin x = -
в) cos x =
г) 2 sin (+) =
|
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:
1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.
Алгоритм решения:
– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:
– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.
№1
6cos2 x + 5 sin x – 7 = 0.
Решение.
№2
№3
Для закрепления:
тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным
В-1
Решить уравнения:
а) 4 sin²x + 11 sinx – 3 = 0
б) 2 cos²x – cosx – 1 = 0
в) 3 tg²x – 2 tgx – 1 = 0
|
В-2
Решить уравнения:
а) 2 sin²x + sinx – 1 = 0
б) 4 tg²x – 11 tgx – 3 = 0
в) cos²x + 2 cosx – 3 = 0
|
В-3
Решить уравнения:
а) 3 sin²x + 2 sinx – 1 = 0
б) 5 cos²x + 6 sinx – 6 = 0
в) tg²x + tgx – 2 = 0
|
В-4
Решить уравнения:
а) sin²x – 3 sinx + 2 = 0
б) 4 sin²x + 3 cosx – 3 = 0
в) 2 tg²x + tgx – 1 = 0
|
В-5
Решить уравнения:
а) 3 cos²x – 5 sinx – 2 = 0
б) 4 sin²x + 3 cosx – 3 = 0
в) 5 sin²x + 6 cosx = 6
г) 6 tg²x + tgx – 1 = 0
|
В-6
Решить уравнения:
а) 8 sin²x + cosx + 1 = 0
б) 3 sin²x – 5 sinx – 2 = 0
в) 2 tg²x + 3 tgx – 2 = 0
г) 2 cos²x + cosx = 1
|
Однородные уравнения
Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
а sinx + b cosx = 0.
Пусть cosx = 0, тогда sinx = 0, но sin2x+ cos2x=1 -противоречие
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).
Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
2tgx – 3 = 0;
tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.
Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.
Пусть cosx = 0, тогда sinx = 0, но sin2x+ cos2x=1 -противоречие
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а tg2x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos2x (sin2x).
Например: 3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то
3tg2x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).
Замена: tgx = у. 3у2– 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y1 = 1 или y2 = 1/3
tgx = 1 или tgx = 1/3
tgx = 1:
x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.
tgx = 1/3:
х = arctg1 + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
№1
√3sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.
х = –π/6 + πn, n ∈Z.
№2
sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0
Замена: tgx = у.
у2 – 10 у + 21 = 0
у1 = 7 или у2 = 3
tgx = 7 или tgx = 3
tgx = 7:
х = arctg7 + πn, n ∈Z
tgx = 3:
х = arctg3 + πn, n ∈Z
№3
sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.
Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0
Замена: tg2x = у.
3у2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
у1= 5 или у2 = 1
tg2x = 5 или tg2x = 1
tg2x = 5:
2х = arctg5 + πn, n ∈Z
х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
tg2x = 1:
2х = arctg1 + πn, n ∈Z
х = π/8 + π/2 n, n ∈Z
№4
6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin2x + 4 sinx cosx = 1.
6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0.
5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.
т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0
Замена: tg x = у.
5у2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
у1 = 1/5 или у2 = –1
tg x = 1/5 или tg x = –1
tg x = 1/5:
х = arctg1/5 + πn, n ∈Z
tg x = –1:
х = arctg(–1) + πn, n ∈Z
х = –π/4 + πn, n ∈Z
Для закрепления:
Однородные тригонометрические уравнения
В-1
Решить уравнения:
а) 7 sin²x + 6 sinx cosx = cos²x
б) sin 2x + 2 cos 2x = 1
в) 5 sin²x = 3 sinx cosx + 2 cos²х
|
В-2
Решить уравнения:
а) sin²x + 14 sinx cosx = 15
б) cos 2x - sin 2x = 1
в) 3 sin²x + 7 sin 2x = cos²х
|
В-3
Решить уравнения:
а) 3 sin²x + 2 sinx cosx = 2
б) 7 sin²x + 7 sin 2x + 7 cos²x
в) 1 – 4 cos²x = 2 sinx cosx
|
В-4
Решить уравнения:
а) sin²x + 9 cos²x = 5 sin 2x
б) cos²x – 6 sin 2x = 13 sin²x
в) 6 sin²x – 3 sinx cosx - cos²x = 0
|
В-5
Решить уравнения:
а) cos²x + 6 sin 2x – 13 sin²x = 0
б) 3 sin²x + 2 sinx cosx = 2
в) cos 2x + sin2x = 0
|
В-6
Решить уравнения:
а) 1 – 4 cos²x = 2 sinx cosx
б) 7 sin²x + 6 sinx cosx = cos²x
в) cos 2x – sin2x = 0
|
Из истории
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.
О т вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.
Тригонометрия в России
В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).
В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.
Литература
1. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосенко / - ООО"Тривиум", 2004. - 160с.
2. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.
3. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 176с.
4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7 - 11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.
5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2001 - 2008. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2008. - 192с.
6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2006. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2006. - 64с.
7. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидакт. материалы для 10 кл. / М. К. Потапов, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с.
|
