Вологды Департамент Гуманитарной политики Управление образования муниципальное учреждение дополнительного образования детей
|
Скачать 4.39 Mb.
|
| §6. Советы участникам соревнований Что делать, если задача не решается. 1. Помогают следующие соображения: * попытайся понять, какой в задаче ответ * попытайся понять, какие идеи, формулы, теоремы могут использоваться в решении, на что задача * рассмотри лёгкие частные случаи или аналогичные задачи (меньшие числа, числа той же чётности, вместо чисел буквы и т.п. по смыслу задачи) * попытайся, доказывая какое-либо утверждение, рассуждать от противного 2. Если в задаче требуется доказать или опровергнуть какое-нибудь утверждение, и она не получилась быстро, не зацикливайся на своём ответе. Измени точку зрения, ответ может быть противоположным. Попытайся попеременно доказывать и опровергать утверждение. 3. Если значительное время в задаче нет продвижений, переключись на другую задачу. Иногда, возвращаясь к более простой задаче, находят решение, которое не могли найти сразу. Стратегия распределения времени на личной письменной олимпиаде. 1. Прочитай все задачи, к геометрическим задачам сделай рисунки, к другим - схемы и т.п. (если по смыслу есть какие-нибудь наглядные представления). Надо попытаться решать каждую из задач. 2. Выбери наиболее перспективную задачу. Чаще всего первая самая простая, последняя самая сложная. 3. Решив задачу, сразу оформи её. При оформлении может быть понятно, что ещё не додумано. 4. Обязательно проверь решение. Можно упустить какие-нибудь простые частные случаи, в которых ответ отличается, или деление на 0, и т.п. Обычно не дают очень простых задач, и если задача выглядит совсем просто, в ней может быть ловушка. 5. Полностью освободив мысли от решённой задачи, переходи к следующей. 6. Не уходи с олимпиады до конца времени, отведенного на решение. Иногда достаточно несколько минут отдохнуть и собраться с мыслями, чтобы пришли свежие идеи. 7. За полчаса до конца тура начинай записывать все соображения по задачам, решённым частично. Иногда 1-2 балла, полученные за часть решения, дадут в итоге более высокое место. 8. Если не успеваешь переписать, сделай пометку об этом и о том, что дальше решение см. в черновике (если это допускается правилами олимпиады). 9. Если осталось время, прочитай работу глазами проверяющих – смогут ли они разобраться? Что делать, чтобы не потерять баллы на личной письменной олимпиаде. 1. Подставь ответ в условие (если это возможно по смыслу). Если ответ не подходит, найди ошибку. Помогает метод половинного деления: подставь неверный ответ в середину выкладок, и если он подходит, ошибка выше (в середине уже неверно), а если не подходит – ниже. Ту половину выкладок, в которой ошибка, раздели пополам. Подставь ответ в середину. И т. д. Найди строчку с ошибкой. 2. Если, на твой взгляд, условие задачи можно понять разными способами, то не выбирай наиболее удобный для себя. Задай вопрос организаторам олимпиады. 3. Чаще всего утверждения, не являющиеся школьной программой, надо доказывать (если они не настолько очевидны, что доказываются в одну строчку). Если не понятно, надо ли доказывать, скорее всего надо, но лучше задать вопрос организаторам олимпиады. 4. Если в задаче спрашивается * какой ответ - кроме ответа пиши доказательство, почему он такой * можно ли что-либо сделать и ответ нельзя - рассмотрение частных случаев, даже всех, не засчитывается, кроме этого необходимо доказательство, почему других случаев нет * каким может быть та или иная величина - нужны 1) список ответов 2) примеры для каждого ответа 3) проверка, что они подходят 4) доказательство отсутствия других ответов * какое наибольшее (наименьшее) значение величины - нужны 1) ответ 2) пример 3) проверка примера, что он удовлетворяет условию 4) доказательство невозможности большего (меньшего) значения 5. Каждый шаг решения необходимо формулировать, даже если он кажется очевидным. Удобно записывать решение в виде нескольких утверждений (лемм). Советы по подготовке школьников к апелляции по результатам личных письменных олимпиад. 1. Прочитай внимательно решения жюри (если есть возможность) или узнай решения (у руководителя команды, других участников, …) 2. Отнеси каждую задачу к одной из следующих категорий: * задача отсутствует в твоей работе (1) * задача написана, но решение не совпадает с решением жюри (решена не полностью или другим способом) (2) * задача решена тем же способом, что и у жюри (3) 3. Все задачи категории (2) оформи письменно (так, как на олимпиаде – по возможности дословно) и покажи руководителю команды. 4. Узнай у руководителя команды, сколько баллов по каждой задаче должны поставить за такие решения. 5. Если по какой-то задаче поставлено баллов меньше, чем ожидалось, апеллируй по ней. Глава 2. Задачи §1. Классификация олимпиадных задач. Способы классификации задач. Олимпиадные задачи – это тип задач, занимающих промежуточное положение между школьными задачами и научными проблемами. Основное требование к олимпиадным задачам: главной трудностью для участников должен быть поиск идей решения, а не оформление. Это необходимо учитывать при составлении задач ввиду наличия у участников олимпиады ограничения по времени её написания. Наиболее часто встречаются классификации олимпиадных математических задач, использующие в качестве основания для классификации один из следующих двух принципов. 1. Круг идей, используемых при решении задачи. Пример классификации по идеям. 1. Обратный ход. 2. Четность. 3. Принцип Дирихле. И т. д. 2. Раздел математики («тема»), к которому можно отнести задачу по внешним признакам. Пример классификации по разделам. 1. Алгебра и анализ. 2. Геометрия. 3. Теория чисел. И т. д. В каждой классификации элементы первого порядка (группы идей и разделы математики) подразделяются на элементы второго порядка (идеи и темы соответственно). ! Например, группа идей «принцип Дирихле» включает в себя следующие идеи: * k+1 кролик в k клетках (дискретная форма принципа Дирихле) * kn+1 кролик в k клетках (обобщённая дискретная форма принципа Дирихле) * k кроликов съели kn килограммов травы (непрерывная форма принципа Дирихле) Раздел «Алгебра» включает в себя следующие темы: неравенства, многочлены, свойства функций и функциональные уравнения, последовательности и ряд других тем. Плюсы и минусы разных подходов. 1. Классификация по идеям. Очень удобна при изучении материала («одна идея – одно занятие»). Главная проблема: всего идей очень много (миллионы). Если перечислены не все идеи, то получается выборка, знание которой не гарантирует успешное выступление на соревновании. Выписывание значительной части идей вряд ли когда-либо может быть сделано (тем более практическая ценность такого труда невелика, так как его никто не прочитает полностью). 2. Классификация по разделам. Включает в себя уж точно всю математику: и олимпиадную, и остальную. Поэтому содержит много лишнего: самые «обычные», «школьные» темы. Главная проблема – отбор задач: их настолько много, что непонятно, какие задачи считать менее красивыми или менее полезными для изучения. И, наконец, невелика польза для читателя, так как идеи решения не выделены и идут вразбивку. 3. Нам представляется разумным за основу взять классификацию по темам, иногда от неё отступая. В каждой теме мы будем выделять основные идеи. Идеи универсального характера, применяемые в нескольких разделах математики, будут вынесены в отдельный параграф. В приведённой далее классификации темы показаны с разной степенью подробности. Ввиду ограниченного объёма книги лишь некоторые из них будут рассмотрены подробно. Классификация олимпиадных математических задач. 1. Идеи универсального характера 1.1. Идеи, связанные с инвариантами 1.1.1. Четность 1.1.2. Подсчёт двумя способами 1.1.3. Сумма координат 1.1.4. Раскраска 1.1.5. Инварианты, связанные с делимостью 1.1.6. Другие инварианты 1.2. Идеи, связанные с процессами 1.2.1. Полуинвариант 1.2.2. Цикличность 1.2.3. Поэтапное построение примера 1.2.4. Обратный ход 1.2.5. Дискретная непрерывность 1.3. Другие универсальные идеи 1.3.1. Математическая индукция 1.3.2. Принцип Дирихле 1.3.3. Принцип крайнего 1.3.4. Линейность 1.3.5. Соответствие 2. Дискретная математика 2.1. Множества 2.2. Комбинаторика 2.3. Графы 2.4. Игры 2.4.1. Чётность числа ходов постоянна (игры-шутки) 2.4.2. Симметрия, разбиение на пары, стратегия дополнения 2.4.3. Выигрышные и проигрышные позиции, функция Гранди 2.4.4. Идея многих заготовок 2.4.5. Возможность воспользоваться стратегией другого игрока 2.4.6. Игры в реальном времени 2.4.7. Другие идеи 2.5. Логические задачи 2.6. Алгоритмы 3. Теория чисел 3.1. Элементарная теория делимости целых чисел 3.2. Сравнения и связанные с ними вопросы 3.3. Решение уравнений в целых, натуральных, простых, рациональных числах 3.3.1. Перебор по остаткам 3.3.2. Разложение на множители 3.3.3. Представление в виде суммы квадратов 3.3.4. Метод спуска 3.3.5. Некоторые классы уравнений, алгоритмы решения которых известны 3.4. Разные вопросы 3.4.1. Совершенные числа 3.4.2. Алгоритмы представления положительных рациональных чисел в виде суммы различных дробей с числителями, равными 1 3.4.3. Свойства чисел Фибоначчи, связанные с делимостью 3.4.4. Количество и сумма делителей 3.4.5. Степень, в которой простое число входит в n! и другие вопросы, связанные с факториалами и целыми частями 3.4.6. Последовательности Фарея, дерево Штерна-Броко 3.4.7. Китайская теорема об остатках 3.5. Рациональные и иррациональные числа. 3.6. Подсчёт точек с целыми координатами, асимптотика. 4. Алгебра и математический анализ 4.1. Многочлены 4.2. Неравенства 4.2.1. Числовые неравенства 4.2.2. Оценка сумм и произведений 4.2.3. Представление в виде суммы квадратов 4.2.4. Неравенства о средних 4.2.5. Неравенство Мюрхеда и теория мажоризации 4.2.6. Неравенство Йенсена 4.2.7. Неравенство Коши-Буняковского 4.2.8. Другие известные неравенства 4.2.9. Различные задачи на пример + оценку 4.3. Тригонометрия 4.4. Свойства функций и функциональные уравнения 4.5. Последовательности 4.6. Методы решения уравнений, их систем (в том числе содержащих параметры) 4.7. Решение текстовых задач с использованием методов математического анализа 5. Геометрия 5.1. Классические планиметрические задачи 5.2. Стереометрические задачи на доказательство 5.3. Вычислительные задачи 5.4. Комбинаторная геометрия 5.4.1. Выпуклые многоугольники 5.4.2. Целочисленные решётки 5.4.3. Равносоставленность 5.4.4. Системы точек, отрезков и окружностей 5.5. Конструирование (задачи для учащихся 5-6 классов) §2. Идеи универсального характера Описание идей. 1. Четность. Часто некоторая величина должна быть всегда четной (или нечетной). Из этого сразу следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую четность, невозможны. Четность часто выступает в роли инварианта. 2. Подсчет двумя способами. Некоторую величину оценивают (или подсчитывают) двумя способами и результаты сравнивают. При этом получается уравнение или неравенство, которое бывает ключом к решению. Эта идея тесно связана с идеей инварианта. Она бывает источником противоречия (рассуждение от противного). Бывает полезна при использовании принципа Дирихле. 3. Сумма координат. Рассмотрение суммы всех координат всех объектов, часто в непривычной обстановке (например, координаты – номера строк и столбцов шахматной доски). Подсчёт этой суммы двумя способами приводит к уравнению, неравенству или противоречию. Отметим, что многие раскраски можно описать в терминах координат клеток. 4. Раскраска. Сопоставление каждому элементу некоторого цвета. Отметим, что раскраску можно рассматривать как разбиение. Часто раскрашивают клетки, а число одноцветных клеток выполняет роль инварианта. Раскраска может дать разметку, сделать ситуацию обозримой. 5. Инвариант. Величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и.перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться четность или раскраска. В задачах про сумму цифр используются остатки по модулю 3 или 9. 6. Полуинвариант. Величина, изменяющаяся только в одну сторону и принимающая конечное число значений. Используется при доказательствах остановки процессов. 7. Цикличность. Если нечто может находиться только в конечном числе состояний и состояние в данный момент времени однозначно определяет состояние в следующий момент времени, то, начиная с некоторого момента, состояния начнут периодически повторяться. Если же число состояний конечно, и каждое состояние однозначно определяет как последующее, так и предыдущее, то в последовательности состояний предпериод отсутствует. Иногда полезно обозначать состояния точками, а переход – стрелками. 8. Поэтапное конструирование. Это задачи на построение примера или контрпримера. Построение нужного объекта часто бывает поэтапным (с помощью некоторого процесса). 9. Обратный ход. Если в задаче указан некоторый процесс, и его можно провести в обратном порядке, то нередко это дает ключ к решению. (Например, можно ли вынести диван из комнаты? Можно, поскольку его туда как-то внесли.) 10. Дискретная непрерывность. Если величина изменяется на 1 и принимает два целых значения, то она принимает и все промежуточные значения. 11. Математическая индукция. Метод доказательства бесконечной последовательности утверждений. Первое утверждение обычно легко проверить (оно называется базой индукции). Затем доказывается индуктивный переход (или шаг индукции): Допустим, что мы уже доказали утверждение с номером n, тогда мы можем доказать следующее, (n+1)-ое утверждение. Если доказана база индукции и доказан индуктивный переход, то все утверждения верны (это аксиома или принцип математической индукции). Иногда шаг индукции выглядит так: Допустим, мы уже доказали все утверждения с номерами от 1 до n, тогда мы можем доказать (n+1)-ое утверждение. Иногда применяют индуктивный спуск: Если утверждение с номером n>1 всегда можно свести к одному или нескольким утверждениям с меньшими номерами, и первое утверждение верно, то все утверждения верны. 12. Принцип Дирихле. Соотношение между двумя множествами, которое можно выразить так: "Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдется ящик, в котором сидят не меньше, чем n/k кроликов, и найдется ящик, в котором сидят не больше, чем n/k кроликов." Принцип Дирихле бывает непрерывным: Если n кроликов съели k кг травы, то какой-то кролик съел не меньше n/k кг и какой-то съел не больше n/k кг (а если кто-то съел больше среднего, то кто-то съел меньше среднего). Отметим, что несмотря на кажущуюся очевидность этого принципа, задачи, его использующие, не всегда легкие, - очень трудно бывает выделить объекты именуемые "ящиками" и "кроликами". |
Похожие:
 |
Образовательная программа дополнительного образования объединения «Радиолюбитель» Управление образования муниципального района Туймазинский район муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования |
|
Образовательная программа детского объединения «Тестопластика» Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей Центр дополнительного образования детей «Уникум» г о г.... |
|
Образовательная программа дополнительного образования детей «юные туристы-спасатели» Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей |
|
Доклад о результатах деятельности муниципального автономного образовательного... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования детей |
 |
Образовательная программа дополнительного образования детей «За здоровый образ жизни» ... |
|
«согласовано» общим Советом трудового коллектива моу дод цдод протокол от «01» 09 2014г. №1 Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей: Центр дополнительного образования детей |
|
Отчет о результатах самообследования деятельности маоудод «цдт» за... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования детей |
|
Программа дополнительного образования детей культурологического направления Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей |
|
Правила внутреннего трудового распорядка для работников Муниципального... Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Детско-юношеский центр» |
|
Места массового пребывания людей Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей»... |
|
Министерство культуры РФ управление культуры, спорта и молодежной... Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования |
|
Департамент образования атмр Муниципальное образовательное учреждения дополнительного образовании детей дюсш №1 |
|
1 Муниципальное образовательное автономное учреждение дополнительного... Муниципальное образовательное автономное учреждение дополнительного образования «Центр развития творчества детей и юношества «Радуга»... |
|
Приказ №21 от 20. 04. 2015г. Отче т по самообследованию мбоу дод... Полное наименование: Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного... |
|
1 Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования... Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования детей Специализированная детско-юношеская спортивная техническая школа... |
|
Самообследование муниципального бюджетного учреждения дополнительного... Наименование оу в соответствии с уставом: муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования детей Станция юных натуралистов... |