3. Теоретическая часть
Разработка высокочастотных электродов для физиотерапии, в отличие от разработки СВЧ - электродов, затрудняется увеличением их резонансных размеров, что делает невозможным локализовать энергию поля в небольших объемах тела. Уменьшить размеры СВЧ - электродов удается с помощью выполнения их в виде замедляющих систем.
Резонансные размеры таких электродов уменьшаются во столько раз, во сколько уменьшается фазовая скорость волны в замедляющей системе. Особенно сильно удается уменьшить размеры (в десятки сотни раз) в случае связанных электрических систем. Кроме уменьшения резонансных размеров электроды на связанных замедляющих систем обладает другой замечательной способностью. Практически вся энергия электрического поля возбуждаемой волны в замедляющей системе сосредоточена внутри электрода между проводниками замедляющей системы, а энергия магнитного поля находится снаружи проводников, что позволяет осуществлять терапевтическое воздействие только магнитным полем.
Ниже приводится результаты теоретического исследования связанных спиральных цилиндрических систем.
В данной работе в качестве излучающего элемента микроволнового излучателя рассматривается замедляющая система. Что это такое?
Электродинамическая система, в которой возможно распространение медленной волны в заданном направлении, называется замедляющей системой. Под медленной электромагнитной волной обычно понимают монохроматические колебания, у которых фазовая скорость меньше скорости света в вакууме.
Имеются разнообразные способы получения медленных волн.
Первый способ заключается в получении медленной волны подбором параметров среды. Например, заполняя однородный волновод диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ=1, можно получить коэффициент замедления волны:
Однако трудно изготовить диэлектрик с большой диэлектрической проницаемостью и малыми высокочастотными потерями.
Второй способ реализуется подбором соответствующих конфигураций поверхностей металлической системы, обеспечивающих возможность значительного уменьшения фазовой скорости волны вдоль заданного направления.
Хотя замедления можно получить при активном сопротивлении поверхности, это, вследствие больших потерь, практически не имеет смысла. Поэтому получить чисто реактивное сопротивление необходимо, что можно осуществить с помощью периодических структур, на основе которых построено большинство применяемых в СВЧ - устройствах замедляющих систем.
Большой практический интерес представляют так называемые связанные цилиндрические спирали.
Рассмотрим общую теорию связанных линий.
Телеграфные уравнения двух связанных длинных линий можно записать в следующем виде:
(1)
где I1,U1,I2,U2 - токи и напряжения в I-ой и II-ой линиях
L1,c1,L2,c2 - индуктивности и емкости I-ой и Il-ой линии, приходящиеся на единицу длины
L12,c12 - взаимные коэффициенты индуктивности и емкости линий, приходящиеся на единицу длины.
Если амплитуды напряжений и токов представить в виде:
U1=Ae-jβz I1=Be-jβz (2)
U2=De-jβz I2=Ee-jβz
где β - волновое число; A,B,D,E - постоянные величины, то система (1) после подставления в неё уравнений (2) будет выглядить:
(3)
Система уравнений (3) имеет тождественно не нулевые решения относительно постоянных A,B,D,E если определитель ее равен нулю. Это приводит к дисперсионному уравнению:
(4)
Решение этого уравнения относительно β имеет четыре действительных корня:
(5)
где:  (6)
 (7)
Из (5) следует что β(1), β(3) и β(2), β(4) соответствуют волнам идущим в разных направлениях, причём:
 
Для определения напряжений и токов необходимо рассчитать постоянные A,B,D,E. Система (3) позволяет выразить все постоянные через одну (например А). Так как в каждой линии могут существовать одновременно четыре волны (две с одной фазовой постоянно, идущие в разные стороны, и две с другой), то в общем виде выражения для токов и напряжений состоят из четырех слагаемых, соответствующих этим четырем волнам. Амплитуды этих волн определяются из граничных условий на концах линий.
Выражения (3) дают возможность провести достаточно полный анализ свойств, связанных передающих линий. В частности, можно рассчитать коэффициент передачи мощности, коэффициент направленности и ряд других параметров.
При анализе свойств связанных линий для простоты предположим, что одновременно распространяются две волны с волновыми числами β(1) и β(3) (отражённых волн нет).
Рассмотрим дисперсионное уравнение связанных линий. Для упрощения введём следующие обозначения:
  (8)
где b0 и х0 - безразмерные коэффициенты емкостной и индуктивной связи;
   (9)
где β1 и β2 - волновые числа каждой из связанных линий.
С учетом выражений (8) и (9) решение уравнения (4) будет выглядеть:
 (10)
Рассмотрим случай так называемых синхронных спиралей, у которых β1=β2=βср.
При этом условии уравнений (10) принимает вид:
 (11)
В большинстве случаев можно положить |b0| ≈ |х0| тогда из выражения (11) получим:
 (12)
 (13)
Волновое число βt соответствует «медленной волне», так как |βt|> |βср|, а βt - «быстрой волне», так как |βl| < |βcp|.
Разность волновых чисел медленной и быстрой волны называют волновым числом биений. В общем случае, когда спирали не синхронны, то:
 (14)
Разность волновых чисел не синхронных спиралей называют разностным волновым числом βp = βx -β2. Тогда формулу (14) можно записать:
 (15)
где  - волновое число связи.
Для синхронных линий βp=0 и βб=βc
Рассмотрим энергетические соотношения для связанных линий. Для синхронных линий, когда β1 = β2 = ßcp из выражений (2) и (3) получим:
 (16)
 
При z1B=z2B и |х0| ≈ |b0| для медленной волны  выражение (16) принимает вид:
 (17)
Для быстрой волны  :  (18)
Равенство (17) означает, что для медленной волны потенциалы в линиях равны по величине и противоположны по знаку, т.е. электрическое поле между линиями поперечно, поэтому медленную волну называют поперечной. Для быстрой волны (18) потенциалы в линиях одинаковы, электрическое поле продольно, быструю волну называют продольной.
Рассмотрим вопрос о длине так называемого связанного участка, на котором мощность, поданная первоначально в одну линию, передается затем в другую.
Предположим, что в связанных линиях одновременно существуют две нормальные волны. Между этими волнами возникает интерференция или пространственные биения.
Выражения для волн в I - ой и II- ой линиях:
 (19)
Предположим, что U2= 0 при z = 0 , и, следовательно Ut2 = -Ul2
Учитывая равенство (17) и (18), получим:
Ut2 = -Ut1 Ul2 = Ul1, то есть Ut1 = Ul1
Из выражений (19) и последующих соотношений получаем:
 (20)
 (21)
Из выражений (20) и (21) следует, что если сначала волна имела максимальную амплитуду в I-ой линии, а во Il-ой амплитуда равнялась нулю, то на расстоянии:
 (22)
волна из I-ой линии перейдёт во II-ую.
Из соотношений (12) и (13) в случае синхронных спиралей длина связи равна:
 (23)
Теперь перейдем непосредственно к связанным спиралям. На рис.11 показаны связанные спирали, а на рис.12 изображена их эквивалентная схема, где:
a1, a2 - радиусы внутренней и внешней спиралей
d1, d2 - шаг внутренней и внешней спиралей
ψ1, ψ2 - угол намотки внутренней и внешней спиралей
Рисунок 11
|
Рисунок 12
|
Чтобы теорию длинных линий применить к связанным спиралям, необходимо знать L и с. Можно показать, что эти параметры для основной азимутально симметричной волны определяют следующим образом:
 (24)
 (25)
 (26)
  (27)
  (28)
  (29)
где γ - радиальное волновое число
k0 и k1, I0 и I1, - модифицированные функции Бесселя второго и первого родов нулевого и первого порядков.
С помощью выражений для L и с можно рассчитать основные характеристики связанных спиралей. Если L и с (24) - (29) подставить в (4), то получим дисперсионное уравнение связанных спиралей:
 (30)
Это уравнение совпадает с уравнением, выведенным электродинамическим способом в работе: Posche K. Wellenforpflanzung langs einez Wendel mit Zylinderschem aubeuleiter. AEU, 1953, B7, H. 11, S. 518 - 522 Используя выражения (24) - (29), рассчитаем коэффициенты емкостной и индуктивной связи (8):
 (31)
 (32)
Если ctgψ1 и ctgψ2 больше 10, что в большинстве случаев, то
 (32a)
Эта формула справедлива, если  . При малых γa погрешность тем больше, чем больше отношение (а2/ a1).
При γa1 и γa2 >>1 из выражений (31) и (32а) следует:
 (33)
 (34)
Выражение (34) справедливо при условии, что ctg2ψ1, ctg2ψ2 > 1
Знак в выражениях (31) и (32) определяется на основе физических соображений. Так как единичный заряд, помещенный на внутренней спирали, наводит на внешней спирали заряд всегда другого знака, то перед b0 ставится «-». Знак х0 определяется намоткой спиралей. Если спирали намотаны в одну сторону, то х0 > 0, если нет - то х0< 0. Из выражения (22) следует, что длина связи мала, если βб велико. Значение βб (14) получается наибольшим, а длина связи наименьшей, если х0 и b0 одного знака. Для этого необходимо спирали наматывать в разные стороны.
Выражения (24) - (29) для распределенных параметров позволяют также рассчитывать волновое число каждой спирали:
 (35)
 (36)
и волновые сопротивления:
 (37)
 (38)
С помощью выражений (35) и (36) можно установить условия, при которых связанные спирали синхронны:
 (39)
В техническом задании определена рабочая частота излучателя - 40 МГц. Исследуя в дальнейшем теоретические и экспериментальные дисперсионные характеристики связанных спиралей, необходимо добиться определенного замедления на указанной частоте.
Замедление при воздействии на человеческий организм должно составлять  ; где φ - угол излучения замедляющей волны к поверхности объекта, где ε - диэлектрическая проницаемость среды (человека). Человеческий организм на 80 % состоит из воды, следовательно можно принять, что в данном случае ε - диэлектрическая проницаемость воды (80).
Эффект излучения наиболее эффективен при φ = 45.
Таким образом, замедление при воздействии на человеческий организм должно составлять:
В техническом задании определен диаметр внешней спирали - 23мм, то есть а=11,5 мм. Радиус внутренней спирали, а также угол, направления и шаг намотки обеих спиралей будем варьировать в соответствии с требуемой частотой и замедлением, соблюдая при этом условие синхронизма спиралей.
Рассмотрим 3 случая:
 то есть а1 = 9 мм
 то есть а1 = 7,75 мм
 то есть а1= 6,5 мм
При неизменном соотношении между ctgψ2 и ctgψ1 условие синхронизма выполняется лишь при одном значении γa1. С изменением γa1 соотношение  должно изменяться, для того, чтобы спирали оставшись синхронными. Зависимости коэффициентов связи от γa1, рассчитаны по формулам (31) и (32а). Из данных можно заключить что с ростом γa1, коэффициенты b0, x0 быстро уменьшаются. С увеличением cотношения а2/а1 коэффициенты связи также уменьшаются, причем уменьшение это больше при больших и меньше при малых γa1. При больших γa1 можно считать
|b0| ≈ |х0|.
Так как b0 и х0 малы, то приближенно β1 и β2 (35) и (36), z01 и z02 (37) и (38) можно рассчитать, пользуясь формулами для одиночной спирали.
Имеет смысл применить к рассматриваемой системе метод эквивалентной линии.
Максимальное поле волны Е типа имеет только составляющую Ну. Определяемая этим полем погонная индуктивность L0 такова, что произведение L0c0 ( с0 - погонная емкость) тождественно равно ε0μ0, то есть:
 (40)
Поэтому можно ограничиться нахождением только индуктивности, создаваемой волной магнитного типа, то есть поперечной составляющей тока проводимости. Большое дисперсионное уравнение (30) можно заменить уравнением:
 (41)
где  ; 
Таким образом дисперсионное уравнение будет иметь следующий вид:
 (42)
где пот - относительное замедление
Рассмотрим четыре возможные варианта работы
Синфазное возбуждение и противоположное направление намотки спиралей. Выбирая знаки «+» и в числителе и в знаменателе(42), получим пот =1, то есть дисперсия отсутствует, а замедление приблизительно равно геометрическому. Рис. 13
Синфазное возбуждение и одинаковое направление намотки спиралей (Рис. 14). Выбирая знак «-» в числителе и «+» в знаменателе(42) получим
 (43)
Замедление оказывается меньше геометрического. С ростом частоты и увеличением разницы между радиусами спиралей параметр (а2 - а1)τ0 растет и замедление стремится к геометрическому. При очень малой разнице между радиусами спиралей, или очень низких частотах, когда (а2 -a1)τ0 1,
 (44)
Противофазное возбуждение и одинаковое направление намотки спиралей (Рис. 15). Выбирая знак «-» и в числителе и в знаменателе (42) получим nот=1, то есть дисперсия отсутствует. А замедление равно геометрическому.
Противофазное возбуждение и противоположное направление намотки
спиралей (Рис. 16). Выбирая знак «-» в знаменателе и знак «+» в числителе (42), получим:
 (45)
Из (45) видно, что с ростом частоты или разницы между радиусами спиралей замедление стремится к геометрическому, но в отличие от второго варианта при малой разнице между радиусами спиралей или очень низких частотах замедление может превышать геометрическое:
 (46)
Существенный практический интерес представляет такой случай, когда поле магнитного типа может быть представлено только суммой плюс первой и минус первой гармоник.
Можно получить следующее дисперсионное уравнение:
 (47)
где d - шаг спиралей (d1=d2, так как спирали синхронны).
Анализируя дисперсионное уравнение (47) можно прийти к следующим выражениям для каждого из четырех вариантов работы:
1. «+» в числителе и в знаменателе выражения (47):
 (48)
Вследствие того, что  уменьшение разницы между радиусами спиралей сопровождается более быстрым увеличением знаменателя и, следовательно, уменьшением замедления. При достаточно низких частотах или малых значениях (а2 -а1), когда  , получим:
 (49)
при   (50)
2. «-» в числителе и «+» в знаменателе выражения (47):
 (51)
при   (52)
при  (53)
3. «-» в числителе и знаменателе выражения (47):
 (54)
при  (55)
Таким образом, в этом случае при маленькой разнице между радиусами спиралей или очень низких частотах дисперсия отсутствует, но замедление оказывается меньше геометрического. При дальнейшем сближении радиусов спиралей, когда  , замедление становится равным геометрическому.
4. «+» в числителе и «-» в знаменателе выражения (47):
 (56)
при  (57)
При дальнейшем уменьшении разницы между радиусами спиралей, когда выполняется условие , получим:
 (58)
Таким образом, в этом случае замедление может быть существенно больше геометрического.
Теперь перейдем непосредственно к построению дисперсионных характеристик.
На основании вышеизложенных теоретических соображений и с использованием выражений (43), (45), (48), (51), (54), (56) будут построены зависимости коэффициента замедления n от частоты f при разных значениях шага спиралей для четырех возможных варианта работы, каждый из которых будет включать в себя три случая:
Необходимо заметить, что коэффициент замедления η определяется следующим образом , где  - геометрическое замедление. Шаг спиралей был выбран в пределах 12-20 мм. Таким образом каждый содержит три характеристики для:
d1=12 мм;
d2=16 мм;
d3=20 мм;
Рисунок 13
|
Рисунок 14
|
Рисунок 15
|
Рисунок 16
|
Приведенный приближенный теоретический анализ четырех возможных вариантов подключения спиралей при различных значениях шага намотки спиралей и разных соотношениях радиусов спиралей позволил определить, что противофазное возбуждение при противоположном направлении намотки спиралей позволяет получить замедление, существенно превышающее геометрическое (вариант 4).
Также удалось определить, что вариант 4 является наиболее соответствующим техническому заданию по значениям результатов, полученных при построении дисперсионных характеристик.
Вариант 3 (противофазное возбуждение и одинаковое направление намотки спиралей) по форме характеристик близок к варианту 4, но имеет гораздо меньшие значения замедления.
Таким образом теоретический анализ показал, что разработка излучателя для УВЧ - физиотерапии на связанных цилиндрических спиралях с рабочей частотой 40 МГц (наружный диаметр излучателя 23 мм) наиболее эффективно должна производиться при противофазном подключении спиралей и противоположном направлении намотки спиралей.
Из трех рассматриваемых случаев варианта 4  при различных значениях шага спиралей наиболее соответствующими техническому заданию являются следующие решения:
а2= 11,5 мм. - радиус внешней спирали
а1 =9 мм. - радиус внутренней спирали d1 = 12 мм. - шаг намотки спиралей (вариант 4-а)
а1 = 7,75 мм., d2 = 16 мм (вариант 4-б)
а1 = 6,5 мм., d3 = 20 мм (вариант 4-в)
Остается проверить правильность теоретических выводов экспериментальными исследованиями.
|
