Программа хранится как число в одной из ячеек памяти (идея Джона фон Неймана)

ГЛАВА5. УРОК 8. Разбиение множества на классы.

Определение: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы Х₁, Х₂, …, Хn, …, если:

1. 
   подмножества Х₁, Х₂, …, Хn, … попарно не пересекаются;
   
2. 
   объединение подмножеств Х₁, Х₂, …, Хn, … совпадает с множе­ством X.
   

Замечание: Если не выполнено хотя бы одно из условий, то классификацию считают неправильной.

Например, если из множества X треугольни­ков выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, по­скольку подмножества равнобедренных и равносторонних тре­угольников пересекаются (все равносторонние треугольники явля­ются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое ус­ловие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Пример. Рассмотрим множество натуральных чисел. Рассмотрим чис­ла, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. (Такую классификацию называ­ют дихотомической).

Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, крат­ных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Разбиения множества натуральных чисел на подмно­жества А и В не произошло. Круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объедине­ние этих четырех подмножеств есть множество N. Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбие­нию этого множества на четыре класса. Напри­мер, при помощи таких двух свойств «быть крат­ным 3» и «быть кратным 6» множество натураль­ных чисел разбивается на три класса: I -класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3.
Домашнее задание:

1. Из множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделим под­множества: а) четных и нечетных чисел; б) чисел, кратных 2, кратных 3 и кратных 4; в) нечетных однозначных чисел и четных двузначных чисел. В каком случае произошло разбиение множества X на классы?

2 . Из множества треугольников выделили подмножества: а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние; б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные; в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные.

В каком случае произошло разбиение множества треугольников на классы?

3. На какие классы разбивается множество точек плоскости при помощи: а) окружности; б) круга; в) прямой?

4. Из множества четырехугольников выделили подмножество фи­гур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивает­ся множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попар­но параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.

5. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. Изменится ли ответ в упражнении, если на множестве четы­рехугольников рассмотреть свойства: а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?

6. Придумайте по два примера разбиения на классы из курса алгебры, геометрии и истории.