Тема: Топология. Теория узлов
|
Скачать 0.65 Mb.
|
  Учебно-воспитательный комплекс "Арман" Бидашева Алина ученица 10 класса Научный проект по математике Тема: Топология. Теория узлов. Топологическая модель теории узлов в биологии. Направление: Математика Секция: Прикладная математика Научный руководитель: Кагирова Данекер Темиржановна. Алматы, 2015 Содержание: Аннотация Введение Предисловие
4.1.История возникновения топологии 4.2.Направления топологии 4.3.Геоинформационная система (ГИС) и топология. 4.3.Практическое применение топологических знаний
Аннотация Цель исследования: Цель научной работы состоит в построении и исследовании математических моделей деформации упругих кривых в трёхмерном пространстве путём последовательного изменения предположений о характере взаимосвязей между механическими параметрами узлов и последующим применением построенных моделей к изучению пространственных конфигураций молекулы ДНК и, главным образом, и к нахождению условий, обеспечивающих образование замкнутых конфигураций ДНК. Объектом исследования являются узлы, их трёхмерное представление в пространстве. Предметом исследования научного проекта являются топология, теория узлов, топологическая модель теории узлов в биологии, узлы ДНК. Гипотеза: Предполагаемое воздействие ферментов на ДНК структуры, как на структуры, имеющие аналогичные топологическим узлы. Результаты работы и выводы: В результате анализа литературы по каждому из разделов приведены практические задачи, доказательства теорем, модели и чертежи,интерактивные материалы на диске. Практическим результатом первой части исследования стало: •Доказательство изотопии предметов на примере чашки и тора. •Доказательство гомеоморфизма и гомотопии букв в русском, английском, казахском языках, выведены классы по их гомеоморфности/гомотопии. •Доказана проблема четырёх красок на примере политической и административной карты Казахстана. •Приведены примитивные задачи по топологии и их иллюстрированное решение,которые можно предложить для ознакомления ученикам на этапе школьного образования. Практическим результатом второй части исследовательской работы стало: •Доказательство операции связной суммы узлов. •Доказательство коммутативности узлов. •Представление движений Рейдемейстера. •Описание нескольких вариантов вычисления инварианта (Полинома Александера). •Вычисление полинома для узлов – трилистник (2 варианта; простой и деформированный), восьмёрка , тривиального узла. •Выведение закономерности, регулярности торических узлов по их диаграммам. •Выведение общей формулы инварианта Александера для торических узлов. •Анализ флага Казахского ханства-выведение узла, его инварианта. •Создание физических моделей узлов. •Подробная инструкция по созданию моделей тора, трилистника в программах по 3D моделированию-Solid Works, Luxulogy Modo . Методика исследования:
Введение Актуальность исследования: Научная топология играет значительную роль в познании, являясь важнейшим средством теоретического воспроизведения объекта исследования. Какую бы отрасль знания мы не взяли, мы обязательно встретимся в ней с топологией, как с одной из основных форм представления объектов или их типов и соответствующего расчленения всего материала. Топология является необходимым этапом любого исследования. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:
Этапы, процедура исследования; Проект разделён на 3 основные части:
Новизна исследования и степень самостоятельности: После открытия двойной спирали Уотсоном и Криком в Nature 50-х годов было очень много исследований по биокатализаторам, модифицирующим структуру ДНК, различным собственно структурам ДНК. К исследованию ДНК подключились не только биологи, но и физики,математики, химики, специалисты в области рентгеноструктурного анализа, это был широкий комплекс исследований, которые развивались повсеместно. Почему вопрос о топологии ДНК встал на повестку дня достаточно серьезно? Дело в том, что ДНК в организме существует в виде суперскрученных систем, она уложена в структуре хроматина, нуклеосомы, и здесь встает вопрос о том, как происходит считывание информации, как эта информация переходит в белок и так далее. Все эти механизмы очень хорошо изучены, получено достаточно много Нобелевских премий по этим проблемам. Области практического использования результатов: В настоящее время на фоне динамики процессов изменения структуры, содержания и даже самой концепции школьного образования особенно остро стоит вопрос повышения качества, а значит и глубины математических, в том числе и геометрических познаний учащихся. Я предлагаю ввести топологию, как вводный курс в изучении математики на среднем школьном уровне, поскольку все теоремы, доказательства и решения задач сами по себе имеют интуитивный характер. В процессе изучения топологии у школьника будет развиваться пространственное воображение, логика, кругозор, интеллект. Теорию узлов же предлагаю углубленно рассматривать, как прикладной курс в школах с естественно-математическим направлением, поскольку теория узлов, фактически является составной частью высшей математики. В школах с гуманитарным и др. направлениями как курс для ознакомления. Теория узлов тем и прекрасна, что зная сравнительно немного можно провести большую исследовательскую работу, самостоятельно вычислять инварианты и разбираться с диаграммами, создать нечто нетривиальное. Предлагаю разбирать программы по 3D моделированию на уроках информатики, преимущественно для старшего звена(10-11 классы). Также разделение по направлениям: MODO-для физико-математического направления, программу используют повсеместно как профессионалы, используя сложные структуры, как начинающие, пользуясь базовыми инструментами. Solid Works-для гуманитарного направления и др. Ввиду того, что интерфейс программы интуитивен и прост в изучении, но в общем и целом даёт схожие результаты. «Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой – нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология». Д. Гильберт Предисловие Данная работа является вводным курсом в огромный мир топологии, раскрывает красоту математических узлов и их применение. Многие считают, что математика – это наука о числах или величинах. Можно привести не один аргумент против этого определения и к числу разделов математики, которые не являются науками о числах и величинах, принадлежит топология. Топология успешно обходится без арифметизации и служит сильным доводом против отождествления математики с арифметикой и вычислениями. Топология стала отдельной областью математики примерно 90 лет назад, но само её развитие, приходится на последние 70 лет. Топология, как одна из самых новых ветвей науки геометрии, имеет великое будущее. Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики. В настоящее время предложения топологии применяются в различных областях знания – в дифференциальных уравнениях, оптимальных процессах, в космогологии, в теоретической физике, в алгебраической геометрии и теории чисел, биологии и социологии. Элементарная геометрия имеет дело с величинами (расстояния, углы, площади), которые не меняют своих значений при движении фигур, тогда как проективная геометрия занимается такими понятиями (точка, прямая, отношение инцидентности, двойное отношение), которые сохраняются при более широкой группе проективных преобразований. Однако и движения, и подобия, и проективные преобразования - только частные случаи гораздо более общих топологических преобразований. Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с "прикосновением" друг к другу частей фигуры и с "непрерывностью" в самом общем виде. Топологические свойства фигур представляют большой интерес: в известном смысле это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, так как они сохраняются при самых "резких" преобразованиях. Применение в геометрии алгебраических методов, начавшееся с трудов Ферма и Декарта, одобрялось не всеми учеными. На первых порах, по словам Н.Бурбаки, аналитическая геометрия была громоздкой и неизящной. После красивых построений древних греков, оставалось чувство неудовлетворенности. Многие ученые пытались уберечь древнюю красивую науку от вторжения посторонних методов. Лейбниц, обращаясь к Гюйгенсу, писал, что он не доволен алгеброй в том отношении, что она в области геометрии не доставляет ни красивых путей, ни наиболее красивых построений. Он утверждал, что нужен чисто геометрический analysis situs (от латинского situs – положение). Лейбниц не довел свою мысль до завершения, поэтому нам не известно, что он вкладывал в понятие “геометрический analysis situs” Эйлер, Гаусс и Риман считали, что термины Лейбница относятся к новой ветви геометрии, изучающей свойства геометрических фигур, связанные с их взаимным расположением. Возникнув из разрозненных задач и оформившись в новую область математики, она получила название топологии Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и разработал язык для их описания. По своим математическим вкусам и по унаследованным им традициям, Пуанкаре был представителем классической математики — великой французской школы математического анализа, созданной Лагранжем, Лапласом, Коши. Пуанкаре представлял математический анализ в универсальном понимании этого слова, включающем и теорию функций, и все аспекты дифференциальных уравнений, и «математическую физику» в самом широком смысле. И универсальность Пуанкаре как математика отразилась в том, каким именно образом он создал новую область математики — топологию. Для Пуанкаре топология сначала и прежде всего была могущественным инструментом для решения проблем, возникающих в классических отделах математики. Пуанкаре открыл для математики и целый мир новых проблем — проблем «качественного», т.е. именно топологического характера, целый мир по своему существу недоступный не только методам, но и самому, если так можно выразиться, мировоззрению «классической» математики, в центре которой находились формула и вычисление (т.е. техника оперирования с формулами). Таким образом, величайший представитель классической математики — Пуанкаре, как никто другой, «взорвал изнутри» её традиции и открыл доступ в неё не только новым методам исследования, но и — что может быть ещё важнее — новым способам видеть вещи и интересоваться ими. Глава 1. Топология История возникновения топологии Что касается меня, то все различные пути, на которых я последовательно находился, приводили меня к Analisys situs* А. Пуанкаре На рубеже XIX-XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область – топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и, как выяснилось впоследствии, наиболее тесно связанными с физикой XX века. Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке не в последнюю очередь потому, что нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково и равномерно протяжено по всем направлениям, не является достаточно точным описанием реальности. Потребовалась, в чём опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, разработка представления о нашем мире как о чем-то изогнутом, скрученном. И для описания этого неплоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом. Топология началось с исследования некоторых вопросов в геометрии. 1736 г. работа Леонарда Эйлера над проблемой Семи Мостов Кенигсберга рассматривается в качестве одного из первых академических трактатов в современной топологии. Термин "Topologie" был введен в Германии в 1847 году Иоганном Бенедиктом Листингом в Vorstudien zur Topologie (Предварительные исследования для топологии), который использовал это слово на десять лет раньше до его первого появления в печати. Английская форма топологии впервые была использована в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Природа, чтобы отличить "... качественную геометрию от обычной геометрии, в которой количественные зависимости в основном лечатся.." Термин тополог в смысле специалиста в топологии был использован в 1905 году в журнале Зритель. Тем не менее, все эти виды использования топологии не точно соответствуют современному определению топологии. Современная топология сильно зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантора позднее. Анри Пуанкаре опубликовал анализ Situs в 1895 году, ввел понятия гомотопии и гомологии, которые в настоящее время считаются частью алгебраической топологии. Объединенив работы по функциональным пространствам Георга Кантора, Вито Вольтерра, Арцела, Жака Адамара, Джулио Асколи и других; Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году. Метрическо е пространство в настоящее время считается частным случаем общего топологического пространства. В 1914 году, Хаусдорф придумал термин "топологическое пространство" и дал определение, что сейчас называется хаусдорфовым. |
Похожие:
 |
«Клеточная теория» ... |
|
Более 50 15,1…14,3 Подрезание растительных остатков Борона дисковая навесная бдн-4 состоит из следующих узлов: рамы, навески, режущих узлов, механизма установки угла диска |
|
Резюме Гончаров Дмитрий Владимирович Сравнительная политология, Российская политика, Политическая теория, Посткоммунизм, Теория политического участия |
|
Топология современного русскоязычного дискурса моды в аспекте перевода... Охватывает искусство, науку, технику, политику, спорт и т д. [Гришаева 2008: 51] |
 |
Методическое пособие для учителя к курсу «Окружающий мир» Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, В. В. Репкина (теория учебной деятельности), Г. А. Цукерман (теория организации содержательного... |
|
Контрольная работа Тема: "Промывочные жидкости" Изменение технического состояния автомобиля обусловлено работой его узлов и механизмов, воздействием внешних условий и хранения машины,... |
|
Теория и методика велосипедного спорта Задачами курса лекций является раскрытие содержания учебной дисциплины «Теория и методика велосипедного спорта», обеспечение студентов... |
|
Теория и методика велосипедного спорта Задачами курса лекций является раскрытие содержания учебной дисциплины «Теория и методика велосипедного спорта», обеспечение студентов... |
|
Теория и методика велосипедного спорта Задачами курса лекций является раскрытие содержания учебной дисциплины «Теория и методика велосипедного спорта», обеспечение студентов... |
|
Способ жизни в эру водолея теория и практика самопознания и самооздоровления москва Теория и практика великого закона (Из неопубликованной рукописи мыслителя и духовидца) 93 |
|
Инструкция по техническому обслуживанию и ремонту узлов с подшипниками... Настоящая Инструкция устанавливает порядок, а также нормы технического обслуживания и ремонта следующих узлов с подшипниками качения... |
|
Методические указания по восстановительной медицине Тема: История... Знать: История и основные этапы развития восстановительной медицины в РФ. Нормативные документы по восстановительной медицине. Теория... |
|
Тема Основные термины и понятия дисциплины 4 Тема Информация и бизнес 8 Тема Технология и практика взаимодействия пользователей с мировыми ресурсами через сетевые структуры 30 |
|
Теория и практика Физкультурное образование: теория и практика. Сборник материалов научно-исследовательской деятельности профессорско-преподавательского... |
|
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория организации» «Теория организации» разработан в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта по направлению... |
|
Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Ю. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. – М.: Высш шк., 2003. – 520 с |