Модели неустойчивого исторического развития
|
Скачать 0.58 Mb.
|
| Модели неустойчивого исторического развития Основные понятия математической теории хаоса формулируются на с помощью т.н. дифференциальных уравнений. Что это такое и как лучше всего представить смысл этих уравнений, описывающих многие конкретные, в т.ч. социальные явления? Чтобы это понять, обратимся сперва к простому примеру. В конце XVIII века английский философ и историк Томас Роберт Мальтус (его можно было бы назвать одним из первых демографов, если бы эта профессия тогда существовала) предсказал, что рост человечества очень скоро столкнется с непреодолимыми трудностями – нехваткой ресурсов и последующим перенаселением Земли. Его рассуждения были достаточно простыми и естественными, но опираясь на математический аппарат, Мальтус выводил из них весьма драматические следствия. Зададимся, вместе с Мальтусом, вопросом, о том, как может меняться с течением времени население закрытого от внешнего мира общества (это может быть племя, населяющее долину, которая ограничена высокими горами, или население острова в океане, или даже какая-либо страна, труднодоступная для путешественников, наконец, в таком качестве можно рассматривать и всю Землю в целом). Изменение населения в таком обществе определяется только рождаемостью и смертностью. Естественно предположить, рассуждал ученый, что как число новорожденных, так и умерших за некоторый промежуток времени пропорционально общему количеству людей. А именно, обозначим численность населения в начале некоторого года буквой Xi где i - это номер года (зависящий от начала летоисчисления; так, это может быть i=2000 н.э., или i=7508 от сотворения мира, или i=1, если летоисчисление начинается с текущего года – для нашей задачи это совершенно не важно). За этот год число жителей изменится, согласно нашему предположению, на величину Xi , равную: Xi = r Xi – m Xi= (r - m) Xi Выражение описывает прирост населения за счет родившихся и убыль за счет умерших, причем оба этих числа пропорциональны Xi с коэффициентами r и m, которые называются коэффициентами рождаемости и смертности, характерными для данного общества. Мальтус предположил, что эти величины, хотя конечно и меняются год от года, но для общей оценки могут считаться постоянными. (Например, в США в последние 40 лет коэффициент смертности за год стабильно удерживается вблизи 0,9%, а коэффициент рождаемости за год в последние 30 лет не слишком сильно колеблется вокруг значения в 1,6%)1. Вместе оба эти коэффициента образуют показатель воспроизводства населения q=r-m, так что в итоге можно записать, что: Xi =q Xi (1) Численность населения в начале следующего года Xi+1 определяется прибавлением к Xi этого изменения: Xi+1=Xi + Xi = Xi +q Xi = (1+q) Xi Написанное уравнение позволяет сделать два вывода. Во-первых, количество людей в обществе в следующем году определяется ее значением в предыдущем. Т.е., зная начальную численность населения X0 (причем за начало отсчета можно выбрать любой год), мы последовательно определяем ее в каждом последующем, находя X1, X2, X3 и т.д., и таким образом, получаем полную динамику роста населения на произвольное число лет вперед (считая, что коэффициент воспроизводства останется постоянным!) Во-вторых, эта динамика определяется очень простым математическим выражением – геометрической прогрессией. Действительно, из уравнения “автоматически” вытекает, что величина Xi для произвольного года связана с начальным значением X0 следующим образом: Xi = (1+q) i ∙X0 , i=1,2,3,... (2) В зависимости от коэффициента воспроизводства эта формула описывает три различных случая: если q>0 (рождаемость в обществе превышает смертность), то население будет из года в год расти, причем за каждый год – в одно и то же число раз; если q<0 (смертность выше рождаемости), то население каждый год становится в одно и то же число раз меньше и в перспективе стремится к нулю; наконец, если q=0 (рождамость и смертность одинаковы), то численность населения остается постоянной, как и можно было ожидать. Вычисление количества жителей страны по схеме Мальтуса, которую мы изложили, является очень удобным примером для того, чтобы освоиться с основами математического языка в социальных науках. Сейчас вы сами, уважаемый читатель, можете проделать вычислительный эксперимент и своими глазами увидеть, как изменяется динамика населения в зависимости от задаваемых параметров. Для этого вам понадобится компьютер со скромными параметрами и с работающей на нем стандартной программой Microsoft Excel в любой ее версии. Мы поможем вам провести этот эксперимент в несколько шагов 1. Подготовка к вычислениям. Включите компьютер и войдите в операционную систему Windows. Здесь, в одном из разделов главного меню (иногда этот раздел называется Microsoft Office) должен находиться значок программы Excel – в виде буквы “X” на фоне листа бумаги. Нажмите на этот значок и появится основное окно программы – лист, поделенный на множество клеток. У этих клеток есть нумерация: по вертикали – цифрами, по горизонтали – латинскими буквами. Одна из клеток сейчас выделена черной рамкой – эта ваша “текущая” клетка, там же находится курсор. Вы можете менять текущую клетку, управляя ей с помощью клавиш со стрелками на вашей клавиатуре. Попробуйте подвигать рамку по листу, а также напишите что-нибудь внутри любой из клеток, а потом сотрите, нажав клавиши “Назад” – “Backspace” (““) или “Уничтожить” – “Del”. Именно так производится ввод информации в клетки. Когда вы освоитесь с этим – переводите рамку в левый верхний угол на клетку “A1”. Все готово к началу эксперимента. 2. Ввод данных. Как мы уже знаем, численность населения в схеме Мальтуса определяется начальным значением и коэффициентами рождаемости о смертности, поэтому мы должны ввести в программу три числа: X0, r и m. Эти числа, конечно, можно выбрать любыми, но, обладая некоторыми данными по статистике Соединенных Штатов, мы можем предложить вам рассмотреть динамику американского населения. Заметим, что поскольку США – отнюдь не закрытая страна, то полученные данные внутреннего прироста населения интересно сравнить с реальной численностью и тем самым оценить какой вклад в нее вносят внешние факторы, как например, иммиграция. Итак, рассмотрим динамику населения США за последние 30 лет и введем в клетку “A1” численность населения в 1965 году – около 194 млн.чел. (т.е. наберем на клавиатуре число 194 в этой клетке и запомним, что выбранные единицы соответствуют миллиону человек). Переведя рамку в соседнюю клетку “B1”, запишем в ней коэффициент рождаемости 1,6%, а в следующей клетке “С1” – коэффициент смертности 0,9% (значок процента вводить обязательно!). Теперь все данные введены и можно переходить к вычислениям. 3. Вычислительная формула. Эта формула, вычисляющая значения населения в следующем году по предыдущему, уже была нами написана выше, но для удобства еще раз повторим ее здесь: Xi+1=Xi + (r – m) Xi . Численность населения будет находиться в первом столбце нашего листа, поэтому мы начнем с нахождения первого из вычисляемых значений (т.е. населения в 1966 г.), которое должно быть в клетке “A2”. Для этого вводим туда строчку, начинающуюся со знака равенства: =A1+(B$1–C$1)*A1 Сравните эту запись с правой частью формулы выше – и ее смысл будет вам ясен. Действительно, вместо A1 программа подставит написанное в этой клетке значение 194, а вместо B1 и C1 – коэффициенты r и m. Смысл знака “$” мы объясним чуть ниже. Итак, если вы без ошибки ввели указанную строку, то в клетке “A2” у вас появилось число 195,358 – вычисленное количество млн. жителей США в 1966 г. (впрочем, на цифры после запятой можно не обращать внимания – это явное превышение точности нашей модели). 4. Получение окончательных результатов. Теперь нам остается только “размножить” полученную формулу из ячейки “A2” на весь столбец “A”. Для этого подведем указатель мыши к правому нижнему углу рамки вокруг этой ячейки (при этом сам указатель принимает форму черного крестика). Нажимая на левую кнопку мыши, мы “тянем” указатель вниз по столбцу, на столько клеток, на сколько нам нужно. Если мы хотим узнать динамику за 30 лет, то естественно остановиться на клетке “A30” и отпустить левую кнопку мыши. Наша формула скопирована на все ячейки от “A2” до “A30”, поставив рамку на любую из них, вы можете в этом убедиться. Причем когда мы “перетаскивали” формулу вниз, соответственно менялись все индексы ячеек, кроме тех, что были помечены знаком “$”. Поэтому фиксированные коэффициенты, содержащиеся в клетках B1 и С1, мы и отметили так, а переменные индексы у клеток столбца “A” обеспечили правильный переход, на каждом следующем шаге подставляя численность населения из предыдущей ячейки. В результате каждое значение этого столбца соответствует населению в определенном году, отсчитываемом от 1965, а последнее число в “A30” – населению США в 1994 году. Если наши результаты совпали, то у вас получилось, что в 1994 году число американцев за счет естественного прироста населения должно было составить около 237,5 млн.чел. Любопытно, то реальная численность в этом году значительно выше – около 260 млн.чел. За 30 лет вычисленный нами полный прирост составил 43,5 млн. чел., в то время как реальный – около 66 млн., и следовательно “лишние” 22,5 млн. – это прирост обусловленные внешними факторами, в первую очередь – иммиграцией (сюда включаются и дети, родившиеся у иммигрантов, въехавших в страну за данный период) . В итоге мы сделали интересный вывод – за последние 30 лет иммиграция составила до 1/3 от естественного прироста населения США (заметим, что коэффициенты рождаемости и смертности мы при этом предполагали неизменными). Наконец, вы можете сами исследовать другие свойства нашего эксперимента – например, поменять по своему усмотрению параметры рождаемости или смертности, начать с другого начального значения и т.д. Интересно, что все вычисления будут меняться автоматически – вам досточно лишь поменять число, скажем, в клетке “B2”, и сразу же в клетке “A30” появится новый ответ. Однако, у рассмотренной нами модели есть существенный недостаток, который сказывается на границах ее точности. Правильные оценки можно получить в этой вычислительной схеме только при небольших коэффициентах рождаемости и смертности, в противном же случае описанная выше математическая схема вычисления естественного прироста населения неприменима. Дело в том, что в ней мы неявно предполагаем, что население изменяется дискретно, от года к году, в то время как на самом деле его рост происходит непрерывно, и при больших коэффициентах воспроизводства численность может существенно меняться уже в течение одного года. Неучет этого в нашей схеме приводит к накапливающейся ошибке. Поэтому необходимо сделать переход к более универсальному классу моделей – от дикретных схем к построению дифференциального уравнения, описывающего непрерывную зависимость от времени. Дифференциальное уравнение исследует не конечные изменения, а скорость роста переменной величины. Наглядно это можно показать так. В дискретных вычислениях выше за единицу времени мы выбирали 1 год, поэтому приращение населения за год можно записать как Xi =Xi /1=X(t)/t=q X(t) где t = 1 год – прошедший отрезок времени. От дискретных обозначений, в которых время мы обозначали индексом i, мы перешли к непрерывному обозначению X(t). Поэтому и приращение населения обозначено как X(t)=X(t+t) – X(t). Величина X(t)/t имеет смысл средней скорости изменения численности населения за данный промежуток времени. Ясно, что ее можно в принципе определить для любого отрезка времени t (год, месяц, неделя, день и т.д.) и начального момента времени t (не обязательно только начала года, как мы это делали раньше, но и начала каждого месяца и т.д.). В предельном случае мы можем вычислить мгновенную скорость роста в любой момент времени – для этого только нужно выбирать все меньшие интервалы t, отсчитываемые от данного момента t, вычислить приращение X(t) за этот интервал и разделить их друг на друга. Такая мгновенная скорость в математике называется производной от переменной величины X(t) по времени и обозначается как dX/dt. Итак, для мгновенной скорости роста населения выписанное выше уравнение (1) получает вид: dX/dt = q X (t) (3) Именно такие уравнения и называются дифференциальными. Они позволяют выразить значения скоростей изменения переменных по времени через сами переменные величины. Дифференциальное уравнение является лишь предельным случаем разностного уравнения (1), точно так же как мгновенная скорость dX/dt есть предельный случай средней скорости X/t. В отличие от разностного уравнения, решить которое, как мы видели, можно элементарными вычислительными средствами, выписать решение дифференциального уравнения в общем виде – непростая задача, которую не всегда удается решить с помощью формул, в аналитическом виде; напротив, очень часто приходится прибегать к помощи графиков и других форм представления решений дифференциальных уравнений. Однако, наше простейшее уравнение (3) имеет аналитическое решение: X(t)=X0 exp (qt) (4) Здесь X0 – это начальная численность населения (соответствующая началу отсчета времени t=0). Решения такого типа называются экспоненциальными (впервые в математике они обсуждались в XVIII веке Лейбницем и Эйлером), а соответствующая функция – показательной или экспонентой (ее график изображен на рис. 1). Полученное нами ранее дискретное решение (2) – лишь частный случай экспоненциального роста2. Причем, главное преимущество нового решения (4) – в его непрерывности, что позволяет найти численность населения в любой момент времени. Замечательно, что качественные свойства динамики населения, описываемой (4), не зависят от конкретного значения q, а только от его знака. Если коэффициент воспроизводства положителен, но население неограниченно растет, удваиваясь за равные промежутки лет; если отрицателен, то столь же стремительно падает, и если q=0 – остается постоянным. На основании решения (4) легко сделать конкретные оценки. Скажем, если население некоторого острова за 20 лет удвоилось, то еще через 11,7 лет оно утроится, еще через 8,3 года – учетверится, через 6,4 года – возрастет в 5 раз и далее приращение на каждое следующее число раз будет происходить все быстрее. Скажем, спустя 75 лет наблюдений прирост населения, равный его начальному числу, будет происходить уже в течение одного года. Через 100 лет население вырастет по сравнению с начальным в 32 раза – ясно, что это может превысить естественные ресурсы острова и означать его перенаселение, выход из которого – в колонизации новых земель. Именно таков был, например, механизм массового выведения колоний из греческих полисов в VII–VI вв. до н.э., когда перенаселение этих малых городов – государств достигалось за считанные десятки лет3. В своей классической работе (An Essay on the Principle of Population, As It Affects the Future Improvement of Society, 1798) Мальтус обобщил эти проблемы перенаселения на население Земли в целом. Экспоненциальный рост населения должен обогнать линейный рост добываемых пищевых продуктов, и поэтому, согласно английскому ученому, условия жизни на планете в отсутствии войн, эпидемий и других катаклизмов будут неуклонно ухудшаться – этот вывод резко противоречил предсказываемому философами–просветителями грядущему “золотому веку”. Действительно, мы можем оценки и опасения Мальтуса применить к современному состоянию населения Земли. Если на 1993 год его численность оценивалась в 5,5 миллиардов человек, а сам рубеж в 5 млрд. был превышен в середине 1980-х гг., то при сохранении этих темпов роста по формуле (4) легко вычислить, что в 2000 году население Земли должно составить 6 млрд. человек, около 2025 года – 8 млрд., а рубеж 10 млрд. будет перейден в середине XXI века. Если такой рост не будет сопровождаться столь же быстрым увеличением производства ресурсов (которое возможно лишь за счет скачков в технологии), то человечество ждет жестокая борьба за выживание. Мальтус и его продолжатели XIX века выступали за контроль над рождаемостью, различные ее “моральные ограничения”. Может ли это спасти человечество от будущей катастрофы? Ответ вновь дает нам дифференциальное уравнение (3). Дело в том, что меры, связанные с осознанием опасности перенаселения, возможностью “саморегуляции” системы, приводят к тому, что коэффициент воспроизводства q перестает быть независимой постоянной величиной – он должен уменьшаться по мере роста численности населения X. В простейшем случае это можно представить как q=a (Xпр – X(t)), где Xпр – эта некоторая предельная величина населения (определяемая ресурсами планеты), после достижения которой коэффициент воспроизводства обращается в нуль. Существование такого предела обусловлено ограниченностью ресурсов любой популяции, и подтверждается исследованиями в биологии, начатыми в свое время Ч.Дарвиным именно под влиянием работ Мальтуса. В этих предположениях уравнение, описывающее динамику населения, приобретает новый вид dX/dt = a (Xпр – X(t)) X (t) (5) Уравнение (5) предлагает нам качественно новый тип зависимости – оно является нелинейным, поскольку производная dX/dt зависит от величины X нелинейным (в данном случае квадратичным) образом. В отличие от (5) прежнее уравнение (3) было линейным, поскольку в нем производная оказывалась прямо пропорциональной переменной величине. Такое, на первый взгляд, незначительное усложнение уравнения радикально сказывается на его решении. Его вид представлен на рис. 2. При малой (относительно предельной величины) начальной численности населения (кривая 1) первое время изменения коэффициента q чувствуются слабо, и оно растет так же, как росло решение (4). Однако с приближением X к Xпр коэффициент воспроизводства стремится к нулю, поэтому рост населения “замирает”, его численность выходит на постоянную величину (горизонтальный участок кривой на графике). Интересно, что если начальная численность вдруг превышает предельную (например, миграция большой группы людей на остров с малыми ресурсами), то это автоматически означает, что коэффициент воспроизводства становится отрицательным и население падает, но так, чтобы с течением времени достичь предельного уровня (кривая 2). При X=Xпр скорость изменения переменной обращается в нуль. Такие величины называются стационарными точками дифференциального уравнения. Модифицированная модель Мальтуса (5) находит применение в изучении популяционной динамики у животных4. Как подчеркивают ученые, именно она позволяет математически сформулировать дарвиновскую идею о выживании видов в процессе естественного отбора. И в отношении населения Земли демографы в целом руководствуются именно нелинейной моделью – так, по последним данным, его численность может стабилизироваться где-то между 12–13 млрд. человек на рубеже около 2075 года.5 Итак, на достаточно простом примере мы научились в этой главе пользоваться языком дифференциальных уравнений. Богатство этого языка можно было оценить по тому, как на основании некоторых простых предположений мы получили не только важные качественные следствия, но и точные количественные оценки. Особенно обратим внимание на то, как резко меняет поведение системы наличие нелинейной связи – именно это свойство приведет нас к появлению хаоса. Наконец, протянем еще одну ниточку, связывающую язык дифференциальных уравнений с историей. Их объединяет не только изучение временной зависимости количественных и качественных показателей, но и локальность суждений. Выше мы упоминали о критике концепции глобальных законов в истории, из которой следовало, что ведущую роль здесь могут играть лишь локальные тенденции, содержащие многообразие путей. На наш взгляд, дифференциальное уравнение и является с точки зрения математического языка адекватной метафорой исторических тенденций. Подчеркнем еще раз, что в дифференциальном уравнении скорость изменения величин определяется их значениями только в данный момент времени, а не на всей их предыстории. С другой стороны, общее решение дифференциального уравнения – это полный набор траекторий, среди которых лишь выбор начального значения фиксирует конкретное решение. Правда, в том примере с моделями исторической демографии, которые мы только что рассмотрели, изменение начального условия (начальной численности населения) почти ничего не меняло в решении – вся его динамика определялась коэффициентом q. Малые изменения в начальном значении вели к столь же малым изменениям в поведении решения – его график лишь незначительно сдвигался вверх или вниз (рис. 3). Это общее свойство линейных дифференциальных уравнений. На язык истории его можно перевести как “малые причины порождают малые последствия”.6 Лишь в случае нелинейной связи в уравнении (5) можно наблюдать качественный скачок – если мы варьируем задаваемую начальную численность населения вблизи Xпр, но можно небольшим изменением перейти от возрастающего решения (X0пр) к убывающему (X0>Xпр). Однако, дальнейшая судьба решений и соответствующих им групп населения одинакова – все они стремятся к постоянной численности, равной Xпр . Казалось бы, трудно спорить на уровне нашего обыденного сознания со столь естественным утверждением, что от незначительных изменений не бывает катастрофических последствий. И тем не менее, в значительной своей части природа устроена совершенно иначе, и об этом пойдет речь в следующем разделе.</0> |
Похожие:
 |
Учебно-методический комплекс проблемные вопросы отечественной истории... Тологический и гносеологический аспекты анализа исторического процесса. Проблематика философии истории – логика развития общественного... |
 |
Образец аудита Для различных объектов разработаны различные по объему, содержанию и отчетности модели энергоаудита, т н. Motiva-модели. В инструкциях... |
|
Программа специальности 080801 «Прикладная информатика» Кафедра Гуманитарных... Сущность, формы, функции исторического знания. Методы и источники изучения истории. Понятие и классификация исторического источника.... |
|
Генезис православного образования в контексте культурно-исторического развития россии I. Теоретико-методологическая основа изучения православного образования |
|
Михаил Веллер Кассандра Так создан мир, мой Гамлет! Так создан мир… Шекспир «Особый род сущего, субъект социального процесса, творец культуры, исторического развития; биосоциальное существо»,– напрягаются... |
|
Нгок хуэ модели и нгуен дык профессор балашов в. Н. Оптимизация процессов... Модели и нгуен дык профессор балашов в. Н. Оптимизация процессов развития системы морских портов вьетнама |
|
Инструкция по эксплуатации мойки высокого давления. Rd4380C-100A Мойки данной модели имеют разное исполнение: а и C. Отличаются наличием дополнительной удлинённой рукояткой для удобства перевозки:... |
|
Галин В. В. Г 15 Запретная политэкономия. Красное и белое. (Серия: Тенденции) Однако настоящая серия не предназначена для художественного осмысления истории или описания исторического факта. Цель «Запретной... |
|
Кафедра информатики и математики Эти модели — результат развития математической экономики как части экономической теории |
|
Программа развития муниципального казенного общеобразовательного... Основные задачи, направленные на развитие идеи модели «Школы гражданской активности» 31 |
|
Задача нашего исследования состоит в том, чтобы воспроизвести нотариат... Свода законов и основных положений о судоустройстве. При таком незначительном участии отечественного права в формации ныне действующего... |
|
Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего... Особенности экономико-географического положения и социально-экономической модели развития Японии 5 |
|
Экспериментальные народные самолеты Приложение Выкройка модели 1: 50 14 Приложение Раскладка летающей модели fmx-4 масштаба 1: 25 15 |
|
Инструкция введение Данные инструкции относятся только к термостатам Salus Controls модели, указанной на титульном листе данного руководства, и не должны... |
|
Инвалидное кресло-коляска паспорт Рама изделия выполнена из стали с хромовым или полимерным покрытием. Обе модели оснащены съемными подлокотниками. Ширина сидения... |
|
Мадоу «Центр развития ребенка детский сад №46» г. Перми на 2017 2018 учебный год № Дети научатся создавать модели животных из конструктора lego: собаку и корову, слона и жирафа |