Введение
Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в общем курсе “Высшая математика” на химическом факультете ННГУ.
Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения, такие как понятие случайной величины, законы распределения случайных величин, функция распределения, числовые характеристики случайных величин, а также важнейшие законы распределения случайных величин.
Пособие включает в себя подробно решенные типовые задачи и достаточно большое количество разнообразных задач с ответами для самостоятельной работы.
Данное учебно-методическое пособие носит учебный характер. Его цель ЁC помочь студентам лучше усвоить общие теоретические положения и развить навыки в их применении при решении конкретных задач.
§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита ЁC µ §, µ §, µ §, ЎK, а принимаемые ими значения - соответствующими малыми буквами µ § .
Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений: называется дискретной или прерывной случайной величиной.
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, бесконечное несчетное множество возможных значений которой есть некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой оси. (Строгое определение непрерывной случайной величины будет дано ниже).
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
§2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Закон распределения может иметь разные формы. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица (матрица), в которой в порядке возрастания перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
или µ §, где µ §; µ §.
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.
Графическое изображение ряда распределения (см. рис.1) называется многоугольником (или полигоном) распределения.
Рис. 1
§3. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины
Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.
Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция µ §, которая для любого числа µ § равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина µ § примет значение, меньшее, чем µ §, т. е. µ §.
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x (рис. 2).
Рис. 2
Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. µ §;
2. µ § - неубывающая функция, т. е. µ §, если µ §;
3.µ §, µ §;
4. µ § - непрерывна слева в любой точке x, т. е. µ §, µ §;
5. µ §.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:
µ §,
где суммирование ведется по всем индексам µ §, для которых µ §. Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.
§4. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: µ §. Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем
µ §. (*)
Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения ЁC плотность вероятности.
Пусть функция распределения µ § данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция µ §.
Функцию µ § называют также дифференциальной функцией распределения.
Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. µ §; обладает свойством нормированности:
µ §; µ §.
График функции µ § называется кривой распределения.
Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой
µ § (1)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины µ § в промежутокµ § определяется равенством:
µ §. (2)
§5. Числовые характеристики случайных величин
5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название числовых характеристик случайной величины.
Математическим ожиданием (или средним значением) µ §(или µ §) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.
Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений µ §, то ее математическое ожидание µ § находится по формуле
µ § (3)
Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то
µ §, (4)
при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд µ §.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности µ §, находится по формуле
µ §, (5)
при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл µ §).
Дисперсией (рассеянием) µ §(или µ §) случайной величины µ § называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
µ §.
Из определения вытекает часто используемая формула:
µ §.
Если µ § - дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:
µ §, (т. е. µ §) (6)
в случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле
µ §, (т. е. µ §) (7)
в случае счетного числа значений.
Если X - непрерывная случайная величина с плотностью µ §, то
µ § (или µ §). (8)
Средним квадратическим отклонением случайной величины µ §называется величина µ §.
Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.
5.2. Мода и медиана
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, в частности, мода и медиана случайной величины.
Модой µ §дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.
Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение µ §, при котором плотность распределения µ §имеет максимум, т. е. µ §.
На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.
Рис. 3 Рис. 4
Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.
Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются антимодальными.
Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение:µ §) называется такое ее значение µ §, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина µ §меньше µ § или большеµ §, т. е.
µ §. (9)
Геометрически вертикальная прямая µ §, проходящая через точку с абсциссой, равной µ §, делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна µ §, т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точке µ § равна µ §, т. е. µ §.
Рис. 5
Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.
5.3. Решение задач
Пример 1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X ЁC число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A={X<2}; B={µ §}; C={µ §}; 2) математическое ожидание µ §, дисперсию µ §, среднее квадратическое отклонение µ § случайной величины X.
Решение. Случайная величина X может принимать значения µ §; µ §; µ §; µ §. Соответствующие им вероятности µ § найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3, µ §; µ § имеем: µ §; µ §;
µ §; µ §.
Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:
(Контроль: µ §).
Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.
Рис. 6 Рис. 7
Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если µ §, то µ §;
если µ §, то µ §;
если µ §, то µ §;
если µ §, то µ §;
если µ §, то µ §
µ §.
Итак, µ §
График функции F(x) изображен на рис. 7.
1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:
µ §;
µ §;
µ §.
Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:
µ § и µ §. Тогда µ §;
µ §;
µ §
2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим µ §. Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:
µ §=0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение µ §.
Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
Найти моду.
Решение. Так как дискретная случайная величина X принимает значение µ § с наибольшей вероятностью µ § по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е. µ §.
Пример 3. Дана функция
µ §
Рис. 8
Показать, что µ § может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что
µ §,
кроме того, µ §. Следовательно, µ § может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая µ § является осью симметрии соответствующей дуги кривой µ § (см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно µ §, т. е. µ §. Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:
µ §
Пример 4. Дана плотность вероятности случайной величины X;
µ §
Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток µ §, числовые характеристики величины X: µ §.
Решение. Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).
Если x < 0, то µ §.
Если µ §, то µ §.
Если x > a, то µ §.
Итак, µ §
По формуле (*) имеем µ §.
Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)
µ §.
Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)
µ §Отсюда среднее квадратическое отклонение µ §.
Пример 5. Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности
µ §
Решение. Найдем точку максимума функции µ §: µ §; отсюдаµ § при µ §. Точка µ § является точкой максимума функции µ §, так как µ §, если µ § и µ §, если µ §. Следовательно, мода µ §.
Медиану µ § определим из условия (9): µ § (или µ §).
В данном случае по формуле (2): µ §, т. е. µ §.
Таким образом, приходим к уравнению: µ § или µ §. Отсюда, µ §.
Воспользовавшись формулой (5), вычислим математическое ожидание случайной величины X:
µ §
µ §
Найдем функцию распределения случайной величины X.
Прежде всего заметим, что если x < 0, то µ §
Если же µ § то µ § т. е. µ §.
