Отчет о проведении междисциплинарного государственного экзамена 9

Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. 
   Непрерывность действительных функций одного и многих действительных переменных. Свойства непрерывных функций.
   
2. 
   Дифференцируемость функций одного и многих действительных переменных в точке и на множестве. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков.
   
3. 
   Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного (Ролля, Лагранжа, Коши) и их применение.
   
4. 
   Формула Тейлора для действительных функций одного и многих действительных переменных и ее применение. Экстремум действительной функции одного и многих действительных переменных, достаточные условия его существования.
   
5. 
   Числовой ряд. Сходящиеся ряды и их простейшие свойства. Признаки сходимости рядов с положительными членами (признаки сравнения, Даламбера, Коши). Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды. Признак Лейбница. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
   
6. 
   Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
   
7. 
   Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Область и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы, почленная дифференцируемость степенного ряда. Ряд Тейлора для функции одного действительного переменного и условие разложимости функции в ряд Тейлора.
   
8. 
   Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл Римана (определенный интеграл) и его свойства, классы интегрируемых функций. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
   

Раздел 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

9. 
   Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности.
   

10. 
    Случайные величины, функции распределения, их свойства. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения. Типовые распределения: биномиальное, пуассоновское, нормальное. Схема Бернулли и полиномиальная схема: основные формулы.
    
11. 
    Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимые случайные величины.
    
12. 
    Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых распределений.
    
13. 
    Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
    
14. 
    Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
    
15. 
    Основные понятия математической статистики: случайная выборка из распределения, выборочное пространство, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты. Точечные оценки неизвестных значений параметров распределений: несмещенные оценки, состоятельные оценки. Примеры.
    
16. 
    Задача проверки статистических гипотез. Основная и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Статистические критерии. Ошибки 1-го и 2-го родов при проверке гипотез. Функция мощности критерия. Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Проверка простых гипотез о параметрах биномиального, полиномиального и нормального распределений.
    
17. 
    Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона (критерий ^2). Теорема Пирсона о предельном распределении ^2-статистики (без доказательства).
    

Раздел 3. АЛГЕБРА

10. 
    Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители матриц и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель произведения матриц. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.
    

19. 
    Ранг матрицы над полем, способы его вычисления. Ранг произведения матриц. Обратная матрица и способы ее вычисления.
    
20. 
    Векторные пространства над полем. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Подпространства векторного пространства, операции над ними. Свойства конечномерных векторных пространств. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому базису. Размерности суммы и пересечения подпространств.
    
21. 
    Системы линейных уравнений над полем. Алгоритм Гаусса. Критерий Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Общее решение системы линейных уравнений.
    
22. 
    Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов с остатком. Значение многочлена, его корень. Теорема Безу.
    
23. 
    Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) многочленов над полем. Свойства НОД и алгоритм его нахождения. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.
    
24. 
    Линейное преобразование конечномерного векторного пространства, его матрица в данном базисе, примеры. Критерии обратимости преобразования. Матрицы преобразования в разных базисах.
    
25. 
    Характеристический многочлен линейного преобразования. Собственные значения и собственные векторы преобразования, инвариантные подпространства. Критерий приводимости и разложимости матрицы преобразования.
    
26. 
    Евклидово (унитарное) пространство и его свойства. Ортогонализация системы векторов. Существование ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение подпространства.
    
27. 
    Квадратичная форма над полем, ее матрица и ранг. Эквивалентность квадратичных форм, канонический вид. Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
    
28. 
    Кольца вычетов. Малая теорема Ферма. Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.