Экономика в промышленности Под редакцией профессора А. В. Ляшенко Саратов Издательство Саратовского университета 2016
|
Скачать 2.32 Mb.
|
Сотов Л. С., Харин В. Н. Концепция ТСВ-платформы для распределенных информационно-вычислительных систем специального назначения // Гетеромагнитная микроэлектроника : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 3 : Гетеромагнитная микро- и наноэлектроника. Прикладные аспекты. С. 66–72.
Рассмотрим значение интеграла  . Если максимальная частота f(t) не превышает частоту Найквиста fn = N/(2Ti), то интеграл вычисляем точно, если функция периодическая, с помощью БПФ при w=2π∙n/Ti, n = 0, 1, 2, ...., и с ошибкой порядка εm для нерегулярных колебаний, где εm – наилучший возврат на временном интервале Tm.Таким образом, после первой итерации i = 1 имеем дискретный ряд гармонических составляющих C1n. Далее если сигнал стохастический, то на втором шаге i = 2 время наилучшего возврата T2 отличается от предыдущего и сетка частот исследуемой функции сгущается. При этом полученный уже на двух итерациях спектр не эквидистантный. В предельном случае при i→∞ получим непрерывный спектр нерегулярной функции f(t). На практике следует задать сетку частот, необходимую для построения спектра, и закончить итерации по i при попадании достаточного числа спектральных составляющих в каждый частотный интервал. Так как для нерегулярных колебаний на каждой итерации по i длины преобразования Фурье различаются, спектры рассчитываются на разных сетках частот, и при усреднении внутри заданных частотных интервалов необходимо суммировать квадраты амплитуд. По определению коэффициенты спектрального ряда рассчитываются следующим образом:  .В свою очередь,  .Пусть измерение спектральной плотности мощности (СПМ) осуществляется совокупностью L фильтров с прямоугольной передаточной характеристикой K(w) шириной ∆w, равной выбранному для построения спектра частотному интервалу. При этом искомая спектральная мощность в частотном интервале ∆wk пропорциональна среднеквадратичному отклику фильтра Zik, который связан с коэффициентами и передаточной характеристикой выражением
где k – номер фильтра; l – число спектральных составляющих, рассчитанных за время Ti и попавших в частотный интервал пропускания k-го фильтра ∆wk. Равенство  (2) имеет место вследствие того, что передаточная характеристика используемых фильтров прямоугольная.Тогда средняя СПМ в частотном интервале ∆wk за полное время Tp определяется выражением
Таким образом, процедуру расчета спектра можно представить следующим образом.
Описанный выше способ при исследовании моделей генераторов [6, 7] показал, что использование возвратов Пуанкаре в спектральном оценивании позволяет получить точные результаты по значительно более коротким временным реализациям. В системах, исследованных в [8, 9], где реконструкция фазового пространства затруднена, или при исследовании комбинаторных генераторов [10, 11] данный способ не дает существенных преимуществ. Результаты, представленные в работе [2], были получены для систем с низкой (менее четырех) размерностью фазового пространства. При увеличении этой размерности резко возрастает среднее время возврата при заданной точности, вследствие этого уменьшается эффективность описанного алгоритма. Для исследования эффектов, связанных с применением специальных окон в системе с размерностью фазового пространства более четырех, использовались квазигармонические колебания с четырьмя частотами. Такие колебания могут возникать, например, в генераторах, исследованных в работах [12, 13]. Результаты расчета c использованием пакета программ [14, 15] представлены на рис. 1. Здесь изображены распределения СПМ квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми безразмерными частотами, равными 0.1, 0.12333, 0.435, 0.674. Составляющие с частотами 0.1, 0.435, 0.674 имели интенсивность на 20 дБ меньше, чем интенсивность колебания с частотой 0.12333. Расчет проводился с использованием окна Хемминга и учетом возвратов Пуанкаре (см. рис 1, а) и с использованием прямоугольного окна и учетом возвратов Пуанкаре (см. рис 1, б). Длины обрабатываемых временных реализаций в безразмерных величинах выбраны примерно равными Ti=1005. Из рис. 1 следует, что даже при большом времени анализа в окрестности спектральных пиков появляются медленно спадающие «хвосты». Несмотря на то что разрешающая способность алгоритма с окном Хемминга остается более низкой (спектральные составляющие с частотами 0.1 и 0.12333 неразличимы), качество оценки СПМ оказывается не хуже. Провалы распределения СПМ между спектральными составляющими лежат на уровне –110 и –120 дБ, тогда как при учете возвратов Пуанкаре и расчете с прямоугольным окном эти провалы лежат на уровне –60 и –95 дБ. Используя окно Хемминга F(t)=sin2(π∙t/Ti), мы устраняем разрывы исследуемой функции f(t) и ее первой производной на краях интервалов разбиения. Действительно,
где  ;  Кроме этого уменьшаются разрывы высших производных функции f(t). Производные F(t)(n) ~1/Tin, где n=2, 3, ... , учитывая, что время анализа Ti велико, получим, что разрывы высших производных исследуемой функции на краях интервалов разбиения также сглаживаются. Это значительно улучшает качество оценки. Способ, изложенный в работе [2], можно модернизировать путем незначительной корректировки исследуемой функции так, чтобы устранить разрывы f(t) и ее первой производной на краях интервала разбиения. Определим время возврата таким образом, чтобы df(0)/dt = df(Ti)/dt. Оценку СПМ будем производить для функции
где ξ(t)=t∙(f(0)–f(Ti))/Ti. Функция fd(t) и ее первая производная не имеют разрыва на краях интервала разбиения. Второе слагаемое мало вследствие достаточной точности возврата и приводит к искажениям спектра в окрестности нулевой частоты. Результаты оценки СПМ ранее рассмотренных квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми частотами с использованием сглаживания f(t) и ее первой производной на краях интервала разбиения представлены на рис. 2, а. При этом длина обрабатываемой реализации Ti также равна примерно 1005. Скорость спадания «хвостов» в окрестностях спектральных пиков несколько более высокая, чем на рис. 1, б. Уровень в распределении СПМ снижается до –120 дБ уже на частоте 1.6, тогда как на рис. 1, б этот уровень на частоте 1.6 составляет –90 дБ. Уровень провалов между спектральными составляющими не понизился. В то же время в окрестности нулевой частоты появились спектральные составляющие, обусловленные слагаемым ξ(t) выражения (5). а –120 –100 –80 –60 –40 –20 0 СПМ, дБ 0 F 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,0 б –120 –100 –80 –60 –40 –20 0 СПМ, дБ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,0 F Рис. . СПМ квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми частотами 0.1, 0.12333, 0.435, 0.674, с использованием вспомогательной функции ξ(t): а – использование сглаживания f(t) и ее первой производной на краях интервала разбиения; б – использование окна Хемминга и учет возвратов Пуанкаре Анализируя рис. 1, б и 2, а, можно сделать вывод, что приведенная выше модернизация метода расчета СПМ-колебаний в динамических системах дает незначительное улучшение точности оценки. Попытки сгладить высшие производные функции f(t) на краях интервала разбиения путем ее корректировки при помощи умножения на соответствующий степенной полином привели к уменьшению точности оценки. Таким образом, использование теории окон при оценке СПМ в динамических системах с аттрактором большой размерности является актуальным и в случае учета возвратов Пуанкаре. Известно, что Фурье-образ произведения бесконечной временной реализации процесса и окна эквивалентен свертке преобразований каждого из сомножителей. В случае прямоугольного окна его Фурье-образ имеет вид  .Нули этой функции расположены в точках wk =2π/Ti, 2∙2π/Ti, 4∙2π/Ti,... . В случае периодической f(t) время анализа можно выбрать так, чтобы все гармонические составляющие, кроме одной, попали в нули функции φ(w). В случае непериодической f(t) точного попадания в нули гармонических составляющих f(t) не будет. Однако, выбирая время анализа с учетом возвратов Пуанкаре, можно добиться, чтобы спектральные составляющие с максимумами СПМ оказывались в окрестности нулей функции Фурье-образа окна, что существенно повышает точность оценки. Существование нулей функции Фурье-образа окна, периодически расположенных на частотной оси, обусловлено ортогональностью функций exp(i∙2πk), k = 0,1, ... . Следовательно, в предложенном методе можно использовать любые окна, ортогональные тригонометрическому базису, кроме некоторых его составляющих. Такими свойствами обладают только функции этого базиса либо их линейная комбинация. Анализ показывает, что оптимальным для оценки СПМ является окно Хемминга с учетом возвратов Пуанкаре. Действительно, его использование позволяет сгладить f(t) и ее первую производную на краях интервала разбиения, а также значительно уменьшить величины разрывов ее высших производных. Уровень первого бокового лепестка Фурье-образа этого окна составляет –30 дБ, что примерно на 20 дБ меньше, чем у первого лепестка прямоугольного окна. Кроме того, окно Хемминга является линейной комбинацией функций тригонометрического базиса:
Из выражения (6) следует, что при использовании этого окна можно провести расчет СПМ с прямоугольным окном, а затем усреднить полученные спектральные составляющие по формуле
Это позволяет сократить вычислительную часть процесса оценки СПМ. Основным недостатком использования данного окна по сравнению с прямоугольным является в 3 раза более низкая разрешающая способность спектрального анализа, что следует из (7). Необходимо отметить, что в последнем случае при анализе периодических процессов интервал разбиения должен по крайней мере в 3 раза превосходить период колебаний в системе, так как в противном случае усреднятся амплитуды гармоник исследуемого процесса и появятся ложные гармонические составляющие. Результаты оценки СПМ квазипериодических колебаний с четырьмя независимыми частотами с использованием окна Хемминга и учетом возвратов Пуанкаре представлены на рис. 2, б. Длина обрабатываемой реализации также составляет 1005. Из сравнения результатов расчета СПМ, представленных на рис. 1, точность оценки с использованием возвратов Пуанкаре и окна Хемминга более высокая. Провалы между максимумами распределения СПМ составляют –110 и –120 дБ, тогда как при использовании прямоугольного окна (см. рис. 1, б) – только –85 и –100 дБ. Однако разрешающая способность спектрального анализа с окном Хемминга более низкая, чем при использовании метода с учетом возвратов Пуанкаре и прямоугольного окна (см. рис. 1, б). Таким образом, при оценке СПМ-колебаний в динамических системах с высокой размерностью фазового пространства с учетом возвратов Пуанкаре оказывается эффективным использование специальных окон. Функции, их задающие, должны состоять из линейной комбинации функций тригонометрического базиса. Наиболее подходящим с этой точки зрения является окно Хемминга. |
попадет в эту окрестность (возвраты Пуанкаре) [3, 4]. В общем случае нерегулярной функции f(t) для конечного времени t точного возврата может не быть, поэтому аналогично алгоритму, предложенному в [5], зададим время Tm, на котором будем искать наилучший возврат, разбивая исследуемую функцию f(t) на отрезки временных реализаций:
.
,
.
, где τ– временной интервал, равный 7–10 интервалам дискретизации сигнала f(t).
не превышает полное время анализа Tp, заданное перед началом расчетов, в противном случае заканчиваем счет.
,Похожие:
 |
Экономика в промышленности Под редакцией профессора А. В. Ляшенко... Решением Президиума вак министерства образования и науки РФ издание включено в Перечень ведущих рецензируемых изданий, в которых |
 |
Издательство саратовского университета Для преподавателей, научных работников и студентов, обучающихся по специальности «Социально-культурный сервис и туризм» |
|
Учебное пособие для преподавателей и студентов медицинских институтов... Ценность брошюры заключается также и в том, что в ней напоминается о многих ученых, внесших большой вклад в развитие неврологии и... |
|
Издательство саратовского университета Франции и Англии xvii–xix вв до нынешних проблем культурного сотрудничества в Западной Польше. Особое внимание уделяется практике... |
|
Учебник для вузов Под редакцией Заслуженного деятеля науки Российской Федерации, профессора Р. С. Белкина |
|
К. Гроер Д. Кавалларо Перевод с английского канд мед наук Е. Б. Клейменовой... Книга рекомендована Управлением учебных заведений Министерства здравоохранения и медицинской промышленности Российской Федерации... |
|
Учебное пособие под редакцией профессора С. И. Данилова Грибковые заболевания кожи. Учебное пособие под ред проф. Си. Данилова спбгма им. И. И. Мечникова спб: 2005. С. 124 |
|
Весы 2009 -№39 Альманах гуманитарных кафедр Балашовского института... Альманах гуманитарных кафедр Балашовского института Саратовского государственного университета им |
|
Радиожурналистика под редакцией профессора A. A. Шереля Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся... |
|
Радиожурналистика под редакцией профессора A. A. Шереля Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся... |
|
Методическое пособие для студентов 2-го курса, обучающихся по специальности... Под редакцией зав кафедрой пропедевтики внутренних болезней профессора В. В. Аникина |
|
Методические рекомендации по оформлению отчета производственной практики... Под редакцией заведующей кафедрой госпитальной педиатрии д м н., профессора М. А. Скачковой |
|
Н. И. Бычков, Ю. Л. Колчинский, С. М. Семин Под общей редакцией доктора... Экзаменационные билеты для приема теоретического экзамена по безопасной эксплуатации самоходных машин категории «С» |
|
Регламент информационно-вычислительной сети сгту Ивс саратовского государственного технического университета объединяет подразделения университета в информационно-коммуникационную... |
|
Собриология наука об отрезвлении общества под редакцией профессора А. Н. Маюрова Собриология. Наука об отрезвлении общества. /Под ред проф. А. Н. Маюрова. Авторы: А. Н. Маюров, В. П. Кривоногов, Н. А. Гринченко,... |
|
Собриология наука об отрезвлении общества под редакцией профессора А. Н. Маюрова Собриология. Наука об отрезвлении общества. /Под ред проф. А. Н. Маюрова. Авторы: А. Н. Маюров, В. П. Кривоногов, Н. А. Гринченко,... |