Доклад главного ученого секретаря президиума академии наук СССР академика н. М. Сисакяна в отчетный период советская наука продолжала развиваться по глав­ным направлениям,

У нас имеются все условия для всестороннего обсуждения вопросов науки, свободного обмена мнениями, объективной проверки теоретических выводов, для интенсивного развития научных исследований.

Задания на 1964 г., предусмотренные планом в области естественных и общественных наук, в основном выполнены. Ниже излагаются важней­шие результаты исследований по этим наукам, а также освещаются глав­ные вопросы научно-организационной деятельности Академии наук СССР в 1984 г.

Физико-технические и математические науки

Математические науки

В 1964 г. в нашей стране успешно продолжались исследования по всем основным направлениям современной математики и ее приложений.

Исследования в области математической логики и алгебры в Советском Союзе развиваются в тесной связи. Важные результаты получены по струк­турам элементарных теорий различных классов алгебраических систем. Доказаны теоремы о неразрешимости элементарных теорий всех конечных симметрических групп и всех полей характеристики р > 0, а также эле­ментарных теорий различных классов конечных линейных групп. В Инсти­туте математики СО АН СССР достигнуты значительные успехи в нахождении классов моделей, имеющих разрешимые элементарные теории (дистрибутивные структуры с относительными дополнениями, фильтры).

Разработан алгоритм, составлена и отлажена программа (для машины «Урал-4») для задачи о машинном поиске естественного логического вы­вода из заданных формул средствами классического исчисления высказы­ваний (Ленинградское отделение Математического института АН СССР). Это направление весьма перспективно и его следует развивать.

Получены ценные результаты в теории полей алгебраических чисел. В терминах теории гомологии в группах найдены необходимые и доста­точные условия погружения полей алгебраических чисел в общей постанов­ке; при их помощи получен ряд новых результатов. В самое последнее время решена другая важная задача теории Галуа — описание группы алгебраического замыкания поля р-адических чисел (Ленинградский университет). В области гомологической алгебры отметим также далеко идущее обобщение теоремы Картана — Эйленберга о периодичности кого-мологий групп кватернионов и построение теории характеристических классов для представлений конечных групп (Ленинградское отделение Математического института АН СССР).

Для развития современной математики характерно усиление роли алге­браических методов, их широкое проникновение во многие ее разделы. Характерно, что в минувшем году много новых важных результатов было получено в областях, промежуточных между алгеброй и теорией чисел; функциональным анализом, топологией, алгебраической геометрией и тео­рией комплексных многообразий; теорией автоматов и теорией алгоритмов.

На традиционно высоком уровне в Советском Союзе ведутся исследо­вания в области аналитической теории чисел. В 1964 г. получен ряд новых крупных результатов.

Завершен важный цикл исследований по эргодическим вопросам тео­рии сравнений и теории диафантовых приближений. Установлена связь между оценками тригонометрических сумм Виноградова и принципом ста­тистической механики — заменой временных средних фазовыми средними. Это позволило доказать новые метрические теоремы, представляющие об­общения ряда предельных теорем теории вероятностей, в частности, полу-

чить новые предельные теоремы для распределения дробных долей показа­тельной функции. Имеются также новые результаты в области распределен ния вычетов по простому модулю матричной и показательной функции (Математический институт АН СССР).

Одной из основных проблем современной теории чисел является рас­ширенная гипотеза Римана о нулях функций Дирихле. Все попытки оправ­дать эту гипотезу в основном сводятся к так называемым плотностным теоремам, которые утверждают, что число нулей и их густота малы в раз­личных частях критической полосы. Доказана справедливость важной оценки густоты в среднем нулей рядов Дирихле, что позволило получить ряд интересных следствий для аддитивных задач теории чисел (Ленин­градское отделение Математического института АН СССР).

В 1964 г. продолжались активные исследования в области топологии и геометрии. Следует особо отметить получение ряда выдающихся резуль­татов в области алгебраической топологии, которая ранее у нас развива­лась недостаточно.

Доказаны теоремы о топологической инвариантности некоторых клас­сов Понтрягина, что позволило в значительной степени выяснить различие между понятиями гомеоморфизма и гомотопического типа. В частности, аостроены примеры многообразий, имеющих тот же гомотопический тип, что и произведение сфер S² X S⁴, и не гомеоморфных друг другу.

Другой важный результат получен в теории слоений. Доказано, что гладкое слоение с двумерными слоями на односвязном трехмерном много­образии имеет компактный слой, и найден ряд важных свойств слоений с односвязными слоями коразмерности 1 (Математический институт АН СССР).

Доказано, что неориентируемые трехмерные многообразия реализуемы в пятимерном евклидовом пространстве (Ленинградский университет).

В Советском Союзе особенно широко ведутся исследования в области анализа (теория функций действительного и комплексного переменного, теория приближений, функциональный анализ, дифференциальные урав­нения — обыкновенные и в частных производных — и их приложения к физике и механике).

В теории функций наряду с интенсивными исследованиями по класси­ческой теории функций одного комплексного переменного бурно разви­ваются исследования по теории функций многих комплексных переменных. Расширяется круг работ, создаются новые научные коллективы, уже полу­чен ряд результатов первостепенного научного значения (Математический институт АН СССР, Московский университет).

Методом интегральных многообразий изучены новые важные классы нелинейных колебательных систем. Следует особо отметить важные ре зультаты по проблемам асимптотической теории нестационарных колеба­тельных процессов, получившие широкое практическое применение (Ин­ститут математики АН УССР).

Разработаны методы стабилизации систем автоматического регулирова­ния при наличии неполной информации об объекте. Изучена задача об аналитическом конструировании линейного регулятора в случае, когда помеха определяется величиной управляющего воздействия (Свердловское отделение Математического института АН СССР).

Выдающиеся результаты получены по теории динамических систем. Как известно, применения вероятностных методов к классической модели газа обычно основываются на гипотезе об эргодичности совтветствующей динамической системы. В истекшем году доказана эргодичность динамиче­ской системы классической модели газа. Среди работ по теории динами­ческих систем следует отметить получение ряда важных геометрических

следствий о геодезических линиях на поверхностях отрицательной кри­визны (Московский университет).

Важные результаты получены на стыке функционального анализа, дифференциальных уравнений в частных производных и теории функций многих комплексных переменных. Закончено исследование по теории определенных и переопределенных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Найден общий вид решений таких урав­нений и изучена обобщенная задача Копта, в которой начальные условия задаются на подпространстве размерности, не превышающей п — 1. Кроме того, исследован вопрос о существовании решений для неоднородной си­стемы Ри = В⁷; найдены необходимые и достаточные условия разреши­мости систем в выпуклых областях и в так называемых Р-выпуклых об­ластях (Московский университет).

Разработана теория краевых задач для многомерных сингулярных ин-тегро-дифференциальных уравнений. Она охватывает как известную ранее теорию граничных задач для эллиптических и параболических дифферен­циальных уравнений, так и новые вопросы — многомерные интегральные уравнения первого рода, обратные к дифференциальным операторы, теорию разрывных краевых задач и другие (Московский энергетический институт, Воронежский университет).

Найдено явное выражение для матричных элементов представлений группы SU_n; эти представления вызывают большой интерес у физиков в связи с разработкой систематики элементарных частиц (Математиче­ский институт АН СССР).

Из исследований в области механики, в которых важные новые резуль­таты получены на основе самых современных математических методов, отметим доказательство теорем, дающих исчерпывающее решение в инфи-нитезимальной постановке проблемы волн конечной амплитуды на поверх­ности неоднородной тяжелой завихренной жидкости. В частности, доказа­ны теоремы, аналогичные теоремам Некрасова и Лаврентьева о существо­вании волн конечной амплитуды и об их вырождении в уединенную. Развитая теория включает как частный случай строгую теорию внутрен­них волн (Московский физико-технический институт).

Доказана непрерывная зависимость решения задачи о вращающейся жидкости от формы области. Высказано новое условие корректности по­становки задач математической физики и показано, что оно выполняется на сколь угодно большом промежутке времени для областей, близких к эллипсоидальным (Институт математики СО АН СССР).

Последним достижениям в области теории вероятностей и математиче­ской статистики была посвящена сессия Отделения математики в октябре истекшего года. Высокую оценку получил ряд работ последнего времени. Среди них надо отметить исследование по математической статистике, в котором были получены крупные результаты по аналитической теории статистических тестов. Развитая теория, использующая глубокий и свое-образный математический аппарат, сводит задачу разыскания оптималь­ного в том или ином смысле теста к вариационной задаче известного типа. Тем самым значительно углубляются и расширяются возможности анали­тических методов теории проверки гипотез (Ленинградское отделение Математического института АН СССР).

В прошлом году широко велись исследования в области вычислитель­ной и прикладной математики, теории и практики программирования, тео­ретических вопросов и практики использования вычислительной техники; решено большое количество задач, имеющих важное научное, народнохо­зяйственное и прикладное значение.

Разработан ряд алгоритмов для сложных задач математической физики.