ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Системы итерированных функций являются одним из перспективных направлений в современной математике, оставляющих открытыми множество вопросов. Многие проблемы данной теории еще не решены и требуют тщательного исследования.
Следует подчеркнуть, что теория систем итерированных функций нашла множество практических применений в различных областях практической деятельности. Теоретические результаты, полученные в рамках данной теории, используются для сжатия данных, создания фотореалистичных изображений, передачи радиосигналов, предсказания изменений погоды и курсов валют.
В процессе подготовки данной работы были изучены как классические труды по теории фракталов, так и новейшие статьи, диссертации и монографии. Это позволило понять, что теория фракталов и теория систем итерированных функций является живой и бурно развивающейся областью математики. А тот факт, что множество патентов в сфере сжатия изображений основаны на достижениях этой теории, позволяет сделать вывод о ее несомненной практической значимости.
В рамках данной работы освещен классический подход к построению геометрических фракталов (в первой главе). Рассмотрены классические геометрические фракталы: Канторово множество, снежинка Коха, треугольник Серпинского, кривая Минковского, их изображения и классический способ построения этих фракталов.
Во второй главе рассмотрены понятия функционального анализа, необходимые для изучения систем итерированных функций: метрики и метрического пространства, непрерывных отображений метрических пространств и изометрии, принцип сжимающих отображений, понятие неподвижной точки, теорему Банаха о неподвижной точке. Также рассмотрено понятие систем итерированных функций, их свойства.
Также в работе рассмотрены примеры построения фракталов с помощью систем итерированных функций:
построение треугольника Серпинского (приведен детерминированный и рандомизированный алгоритм построения);
рандомизированный алгоритм построения папоротника Барнсли;
построение дракона Хартера-Хэйтуэя;
построение кривой Коха.
Таким образом, исследование, произведенное в данной работе, подтверждает важность и актуальность теории систем итерированных функций.
Перспективой данной работы является дальнейшее, более глубокое изучение вопросов теории фракталов, а также разработка практических результатов в рамках данной теории.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Барнсли М., Игудесман К. Б. Перекрывающиеся системы итерированных функций на отрезке //Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – №. 12. – С. 3-15.
Барнсли, М. Перекрывающиеся системы итерированных функций на отрезке / М. Барнсли, К. Б. Игудесман // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 12. - С. 3-15
Буховец А. Г. Использование рандомизированных систем итерированных функций в прогнозировании //Экономическое прогнозирование: модели и методы: Материалы Х Международной научно-практической конференции. – 2014. – С. 5-7.
Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы / В.Т. Гринченко, В.Т. Мацыпура, А.А.Снарский – Москва.: ЛКИ, 2010 . –280 с.).
Введение во фракталы. URL: http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php (дата обращения 11.10.2015)
Канторово множество. URL: http://grafika.me/node/224 (дата обращения 10.10.2015).
Кутузов А.С. Метрические пространства: учеб. пособие. – Троицк, 2012.
Лейпцигская коллекция статей по фрактальному сжатию изображений. URL: http://www.compression.ru/download/fractal.html (дата обращения 09.10.2015).
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М: Институт компьютерных исследований, 2010.
Нирхаус Г. Хаос и самоподобие //Нелинейная динамика. – 2011. – Т. 7. – №. 1. – С. 153-175.
Осташков В. Н. Диалоги о фракталах //Тюмень: ТюмГНГУ. – 2011.
Папоротник Барнсли. URL: http://grafika.me/node/184 (дата обращения 11.10.2015)
Потапов А. А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. ВА Котельникова РАН, 1981–2011 гг.) //Необратимые процессы в природе и технике: Сб. науч. тр./Под ред. ВС Горелика, АН Морозова. М.: МГТУ им. НЭ Баумана, Физический ин-т им. ПН Лебедева РАН. – 2012. – С. 5-121.
Сайт Бенуа Мандельброта. URL: http://users.math.yale.edu/mandelbrot/ (дата обращения 10.10.2015).
Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. – Москва, 2013.
Семерич Ю. С., Романова Е. Г., Романов Н. А. Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций //Труды Международного симпозиума «Надежность и качество». – 2013. – Т. 1.
Синтез фракталов: IFS и L-системы. URL: http://habrahabr.ru/post/134616/ (дата обращения 11.10.2015)
Талышев А.А.Нелинейная динамика: фракталы, хаос, самоорганизация: учеб. пособие. – Новосибирск: НГУ – 2011.
Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие.- М: МФТИ. – 2011.
Фракталы: от удивления к рабочему инструменту : учебное пособие / В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. – Киев : Наукова думка, 2013. – 270 с.
Халмош П. Теория меры. – Рипол Классик, 2013.
Хелемский А. Лекции по функциональному анализу. – Litres, 2015.
Черноруцкий И. Методы оптимизации. Компьютерные технологии. – БХВ-Петербург, 2011.
Шарабайко М.П., Осокин А.Н. Быстродействующий алгоритм фрактального сжатия изображений// Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 318.- № 5
Шлапунов А.А. Функциональный анализ: учеб. пособие. – Красноярск: СФУ. -2010
Элементы.ру/Геометрические фракталы/Дракон. URL: http://elementy.ru/posters/fractals/dragon (дата обращения 11.10.2015)
Barnsley M., Andrew V. The Chaos Game on a General Iterated Function System// Ergodic Theory Dynam. Systems/-2011.- № 4. С. 1073–1079
Sierpinski Sieve. URL: http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html (дата обращения 10.10.2015).
|
