2. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАНННЫХ ФУНКЦИЙ
2. 1. Понятие метрики и метрического пространства
Понятие метрики, изначально возникшее в теории функций действительного переменного, сейчас играет огромную роль в различных разделах математики. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия как предел числовой последовательности (или функции) и.д. Теорию метрических пространств построил французский математик М. Фреше.
Пусть  - произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика, если каждой паре элементов  поставлено в соответствие единственное число  , удовлетворяющее следующим условиям:
1)  (аксиома неотрицательности)
2)  (аксиома тождества);
3)  (аксиома симметрии);
4)  (аксиома треугольника);
Приведенные условия называются аксиомами метрического пространства.
Пара  т.е. множество с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством.9
Замечание: всякое подмножество  метрического пространства  , рассматриваемое с тем же расстоянием между элементами, также является метрическим пространством и называется подпространством пространства .
Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств.
1. Пространство изолированных точек. Для произвольного множества введем функцию расстояния
Очевидно, введенная функция удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства.
2. Пространство действительных чисел  . Метрика вводится следующим образом:
Данное пространство называют числовой прямой.
3. Пространство  ( n-мерное Евклидово пространство) – множество упорядоченных наборов из  действительных чисел
с метрикой
4. Пространство  непрерывных на отрезке  функций. Метрика вводится следующим образом:
Определение 1. Пусть  — метрическое пространство. Говорят, что последовательность  сходится к  , если  . Последовательность  называется фундаментальной, если для  найдётся  такое, что для  имеем  . Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке этого пространства.
|
