Министерство образования РФ
ФГБОУ ВПО Владимирский государственный университет
имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Кафедра РТиРС
О.Р.Никитин
Специализация по теме диссертации
Методические указания к лабораторным работам
ВЛАДИМИР 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Аннотация 3
Методические указания к лабораторным работам предназначены для бакалавров направления 210400 «Радиотехника» и специальности 210600 «Радиотехнические системы и компоненты» по дисциплине «Специализация по теме диссертации». 3
Лабораторный практикум содержит 5 лабораторных работ, в процессе выполнения которых студенты знакомятся с законами распределения случайных чисел, эмпирическими функциями распределения, моделированием случайных чисел с заданным законом распределения, получают знания по оценкам распределения выборочных совокупностей экспериментальных данных. Задания выполняются на ЭВМ в языке MatLab. Пособие снабжено необходимыми краткими положениями теоретического материала, справочными сведениями по языку MatLab и списком необходимой литературы. 3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 22
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 25
ПРИЛОЖЕНИЕ 29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 38
Аннотация
Методические указания к лабораторным работам предназначены для бакалавров направления 210400 «Радиотехника» и специальности 210600 «Радиотехнические системы и компоненты» по дисциплине «Специализация по теме диссертации».
Лабораторный практикум содержит 5 лабораторных работ, в процессе выполнения которых студенты знакомятся с законами распределения случайных чисел, эмпирическими функциями распределения, моделированием случайных чисел с заданным законом распределения, получают знания по оценкам распределения выборочных совокупностей экспериментальных данных. Задания выполняются на ЭВМ в языке MatLab. Пособие снабжено необходимыми краткими положениями теоретического материала, справочными сведениями по языку MatLab и списком необходимой литературы.
В силу своей универсальности данных данные лабораторных работ методических указаний могут быть использованы для других направлений и специальностей, где происходит обучение обработке экспериментальных данных.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Цели работы
Изучение законов распределения случайных величин, наиболее часто применяемых при решении задач обработки экспериментальных данных.
Изучение инструментов MATLAB для моделирования функций распределений.
Исследование с помощью средств MATLAB зависимости функций распределений от их параметров.
Основные теоретические положения
Закон распределения случайной величины – это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.
Интегральная функция распределения (или просто функция распределения) случайной величины Х – это функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х
 .
Свойства функции распределения
1.
|
Функция распределения – это неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1, т.е. 
|
2.
|
Функция распределения – это неубывающая функция, т.е.  при 
|
3.
|
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала  , равна приращению функции распределения на этом интервале 
|
4.
|
Вероятность того, что случайная величина примет одно определенное значение равна 0.
|
5.
|
Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то  .
В общем случае  .
|
Несмотря на то, что интегральная функция распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины, по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности какой-либо точки числовой оси. Поэтому, наряду с интегральной рассматривают также дифференциальную функцию распределения случайной величины.
Дифференциальная функция распределения (плотность распределения, плотность вероятности) f(x) представляет собой производную от функции F(x).
 .
Свойства плотности вероятности
1.
|
Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е.  .
|
2.
|
Функция распределения равна интегралу от функции плотности вероятности, т.е. 
|
3.
|
Вероятность попадания случайной величины в интервал равна площади под кривой f(x), т.е.  .
|
4.
|
Интеграл от функции плотности вероятности в бесконечных пределах равен 1, т.е. 
|
Закон распределения Гаусса (нормальный закон распределения)
Наиболее широко применяемое распределение. Нормальное распределение является краеугольным камнем математической статистики в силу ряда причин:
– схема его возникновения соответствует многим реальным физическим процессам, порождающим результаты обрабатываемых наблюдений;
– при возрастании объема выборки предельное распределение для большинства экспериментальных данных может быть аппроксимировано нормальным законом;
– нормальное распределение обладает рядом благоприятных математико-статистических свойств (легко нормируется и аппроксимируется, обладает свойством аддитивности).
Обозначение
|
|
Параметры
|
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
Нормальное распределение с параметрами  ,  (т.е.  ) называется стандартным нормальным распределением.
Закон распределения Пирсона
Если  – независимые случайные величины, имеющие распределение , то сумма их квадратов подчиняется распределению  (хи-квадрат) Пирсона с числом степеней свободы k.
Обозначение
|
|
Параметр
|
 – число степеней свободы
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
где  – гамма-функция.
Закон распределения Стьюдента
Если  – случайная величина, распределенная по закону , а независимая от нее случайная величина  имеет распределение с  степенями свободы, то случайная величина  подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы.
Обозначение
|
|
Параметр
|
 – число степеней свободы
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
где – гамма-функция.
Закон распределения Фишера
Если две независимые случайные величины  и  распределены по закону Пирсона со степенями свободы, соответственно,  и  , то случайная величина  имеет распределение Фишера со степенями свободы и .
Обозначение
|
|
Параметры
|
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
где – гамма-функция.
Экспоненциальный закон распределения
Используется для описания внезапных отказов, когда износом изделия можно пренебречь. Наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий и наработка между соседними отказами у восстанавливаемых изделий в случае простейшего потока отказов подчинены экспоненциальному распределению. Наработка на отказ большой многокомпонентной системы может быть описана экспоненциальным распределением при любом распределении наработки на отказ компонентов системы.
Обозначение
|
|
Параметр
|
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
Двойное экспоненциальное распределение (в записи функций вместо  используется  при  ) называется распределением Лапласа.
Равномерный закон распределения
Равномерному распределению подчиняются случайные величины, имеющие одинаковую вероятность появления (например, погрешность измерений с округлением).
Обозначение
|
|
Параметры
|
|
Плотность вероятности
|
|
Функция распределения
|
|
Функции MATLAB для моделирования законов распределения
gamma(x)
|
Расчет значения гамма-функции в точке х
|
normpdf(x,μ,σ)
|
Расчет значения плотности вероятности нормального распределения с параметрами μ, σ в точке x
|
chi2pdf(x,k)
|
Расчет значения плотности вероятности распределения Пирсона с k степенями свободы в точке x
|
tpdf(x,k)
|
Расчет значения плотности вероятности распределения Стьюдента с k степенями свободы в точке x
|
fpdf(x,k1,k2)
|
Расчет значения плотности вероятности распределения Фишера с k1, k2 степенями свободы в точке x
|
exppdf(x,b)
|
Расчет значения плотности вероятности экспоненциального распределения с параметром b в точке x
|
unifpdf(x,a,b)
|
Расчет значения плотности вероятности равномерного распределения с параметрами a, b в точке x
|
normсdf(x,μ,σ)
|
Расчет значения функции распределения для нормального распределения с параметрами μ, σ в точке x
|
chi2сdf(x,k)
|
Расчет значения функции распределения для распределения Пирсона с k степенями свободы в точке x
|
tсdf(x,k)
|
Расчет значения функции распределения для распределения Стьюдента с k степенями свободы в точке x
|
fсdf(x,k1,k2)
|
Расчет значения функции распределения для распределения Фишера с k1, k2 степенями свободы в точке x
|
expсdf(x,b)
|
Расчет значения функции распределения для экспоненциального распределения с параметром b в точке x
|
unifсdf(x,a,b)
|
Расчет значения функции распределения для равномерного распределения с параметрами a, b в точке x
|
Порядок выполнения работы
Для каждого закона распределения
Написать m-функцию MATLAB для расчета значения плотности вероятности в зависимости от значения случайной величины и параметров распределения. С помощью полученной m-функции построить график плотности вероятности (составить соответствующий m-скрипт).
Построить график плотности вероятности с помощью соответствующей pdf-функции MATLAB. По сравнению графиков сделать выводы о правильности составленной в п.1. m-функции.
Составить m-скрипт для построения графика интегральной функции распределения с помощью соответствующей cdf-функции MATLAB.
Исследовать поведение интегральной и дифференциальной функций распределения при различных значениях параметров с помощью составленных в пп.1. и 2. скриптов.
Замечание: Необходимую информацию по языку MATLAB можно найти в Приложении.
|
