Компьютерные информационные технологии курс лекций
|
Скачать 4.88 Mb.
|
|
Тема 1.5. Математическое обеспечение обработки экономической информации Моделирование Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Таким образом, в процессе моделирования всегда существует оригинал (объект) и модель, которая воспроизводит (моделирует, описывает, имитирует) некоторые черты объекта. Моделирование основано на наличии у многообразия естественных и искусственных систем, отличающихся как целевым назначением, так и физическим воплощением, сходства или подобия некоторых свойств: геометрических, структурных, функциональных, поведенческих. Приведем одну из возможных классификаций основных видов моделирования :
Указанные виды моделирования могут применяться самостоятельно или одновременно, в некоторой комбинации. Профессиональный менеджер в процессе принятия управленческих решений должен выделить те ситуации, которые можно с большей или меньшей точностью описать математически, т.е. для которых можно построить соответствующие модели, и, конечно, должен уметь извлечь из этих моделей необходимую дня принятия решений информацию. Непосредственное использование моделей для поддержки принятия решений не только повысило эффективность управленческих решений, но и позволило самим менеджерам глубже вникнуть в суть решаемых проблем. Участие в процессе моделирования позволяет менеджеру сосредоточиться на основной проблеме принятия решения — определить, на какие основные вопросы нужно ответить, какие альтернативы исследовать и на что обратить особое внимание. Существует достаточно большое число определений понятия “модель”. Приведем некоторые из них: Модель представляет собой абстрактное описание системы (объекта, процесса, проблемы, понятия) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом. Для принятия решений наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. В процессе исследования современных сложных систем можно выделить различные классы моделей. В основе этих систем лежат модели различных типов: семантические, логические, математические и т.п. Математические модели при принятии решений. Анализ различного вида моделей показал, что при принятии решений в менеджменте производственных систем чаще всего используются используются:
В процессе подготовки и принятия решений часто используют имитационные модели и системы. Имитационная модель позволяет отвечать на вопрос: "Что будет, если…" Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Основные термины математического моделирования. В качестве основных терминов, относящихся к разделу математического моделирования, можно предложить: - компоненты системы - части системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно; - независимые переменные – они могут изменяться, но это внешние величины, не зависящие от проходящих в системе процессов; - зависимые переменные - значения этих переменных есть результат (функция) воздействия на систему независимых внешних переменных; - управляемые (управляющие) переменные - те, значения которых могут изменяться исследователем; - внутренние переменные – их значения определяются в ходе деятельности компонент системы (т.е. “внутри” системы); - внешние переменные - определяются либо исследователем, либо извне, т.е. в любом случае действуют на систему извне. При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий:
Для моделирования ситуации вначале нужно представить ее структурированным образом, т.е. необходимо выработать некий способ, который позволит привести ситуацию в упорядоченный вид. Постановка проблемы включает в себя возможные решения и метод измерения их эффективности. Структурирование — это навык переходить от признака к четкой постановке проблемы. При количественном моделировании бизнес-среды необходимо описывать взаимодействия многих переменных. Для этого нужно сформулировать математическую модель. В реальном мире обычно не существует единственно верного способа построения модели. Различные модели могут дать различные представления об одной и той же ситуации. Математическое моделирование процессов управления Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью оптимизации процессов управления - область научно-практической деятельности, получившая мощный стимул к развитию во время и сразу после второй мировой войны. Эта тематика развивалась в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами "кибернетика", "исследование операций", а позже - "системный анализ", "информатика". Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: "Что будет, если...?" Любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации - это математическая модель. Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент, как правило, состоит из следующих этапов:
Имитационное моделирование (simulation modelling) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике. Экономико-математические методы управления можно разделить на несколько групп: - методы оптимизации, - методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические, - методы построения и анализа имитационных моделей, - методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр). О методологии моделирования Процесс моделирования, в том числе и экономико-математического, включает в себя три структурных элемента:
Рассмотрим общую схему процесса моделирования, состоящую из четырех этапов. Первый этап: конструируется (или находится в реальном мире) другой объект — модель исходного объекта-оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенных сведений об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели определяются тем, что модель отображает лишь некоторые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определенные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации. Второй этап: модель выступает как самостоятельный объект исследования. Например, одну из форм такого исследования составляет проведение модельных экспериментов, при которых целенаправленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее “поведении”. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели. Третий этап: перенос знаний с модели на оригинал, в результате чего формируется множество знаний об исходном объекте. При этом происходит переход с языка модели на язык оригинала. С достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал можно лишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (другими словами, признакам адекватности). Четвертый этап: практическая проверка полученных с помощью модели знаний и их использование как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преобразования или управления им. Моделирование представляет собой циклический процесс, т. е. за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется. Рассмотрим более подробно процесс моделирования управленческих решений в менеджменте и экономики. Этапы моделирования Анализ различных литературных источников позволил выделить следующие этапы моделирования:
Кратко охарактеризуем каждый из этапов. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются укрупненно и приближенно. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях используют численные методы исследования. Подготовка, исходной информации. В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ, определение необходимых пакетов прикладных программ и непосредственное проведение расчетов. При этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных. Перечисленные этапы моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Однако результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости. Методы оптимизации В настоящее время экономист, менеджер может использовать при принятии решения различные компьютерные и математические средства. В памяти компьютеров может содержаться масса информации, организованная с помощью баз данных и других программных продуктов, позволяющих оперативно ею пользоваться. Экономико-математические и эконометрические модели позволяют просчитывать последствия тех или иных решений, прогнозировать развитие событий. Сформулируем основные понятия, используемые в задачах оптимизации: Управляемые переменные x1, x2,…, xn – переменные, значения которых можно выбирать в определенных допустимых пределах; ЛПР (лицо принимающее решение) – человек или группа людей, которые занимаются анализом и выбором значений управляемых переменных, обеспечивающих оптимальное решение; Эффективное решение – набор значений управляемых переменных, который по некоторым соображениям ЛПР считает наиболее предпочтительными среди всех возможных решений; Целевая функция задачи оптимизации – количественная мера оптимальности процесса; Ограничения задачи оптимизации – совокупность условий (равенств, неравенств и т.п.), связывающих характеристики процесса и ограничивающих область изменения управляемых переменных; Неуправляемые параметры – неизменяемые параметры процесса, значения которых известны; Случайные факторы – факторы процесса, для которых ввиду их случайности неизвестны точные значения, но известен закон распределения вероятностей этих значений; Неопределенные факторы – это факторы процесса, значения которых неизвестны; Математическая модель оптимизации процесса – целевая функция и совокупность ограничений, зависящие от значений управляемых переменных, неуправляемых параметров, случайных и неопределенных факторов; Допустимое решение – набор значений управляемых переменных, который удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации; Оптимальное решение - набор значений управляемых переменных, который не только удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации, но и дает экстремальное значение целевой функции. В зависимости от вида целевой функции, ограничений и присутствия случайных и неопределенных факторов оптимизационные модели можно в общем случае разделить на следующие классы:
Можно выделить несколько основных типов оптимизационных задач:
Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков: F (X) → max (min) X Є A Здесь Х - параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу - число, вектор, множество и т.п. Цель менеджера - максимизировать (минимизировать) целевую функцию F (X), выбрав соответствующий Х. При этом он должен учитывать ограничения X Є A на возможные значения управляющего параметра Х - он должен лежать в множестве А. Приведем основные виды оптимизационных задач менеджмента. Линейное программирование (ЛП) Среди оптимизационных задач менеджмента наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая (минимизируемая) функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами. Линейное программирование как научно-практическая дисциплина. Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения - системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны. То есть:
Общая форма записи модели задачи ЛП Целевая функция (ЦФ)  ,при ограничениях  Допустимое решение – это совокупность чисел (план)  , удовлетворяющих ограничениям задачи.Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция (ЦФ) принимает свое максимальное (минимальное) значение. Методы решения задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике и менеджменту. Однако инженеру, менеджеру и экономисту необходимо знать о свойствах программного продукта, с которым он работает. С ростом мощности компьютеров необходимость применения сложных математических методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором. Приведем пример некоторых из методов отыскания оптимума. Простой перебор. Берется некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Затем выполняется перебор точек параллелепипеда с заданным шагом, вычисляя значения целевой функции и проверяя выполнение ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Направленный перебор. Берется точка, удовлетворяющая ограничениям. Затем последовательно или случайно меняем ее координаты на определенную величину, каждый раз в точке с более высоким значением целевой функции (если разыскивается максимум целевой функции). Вначале движение осуществляется по плоскости ограничений, затем по ребру ограничений и наконец отыскание вершины, где находится оптимум. Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Основная его идея состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Сформулируем некоторые типы задач, сводящихся к задачам линейного программирования. Транспортная задача. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать “прикрепление” потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.  ; Целевая функция (ЦФ) представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели транспортной задачи (ТЗ) является транспортная матрица. Общий вид транспортной матрицы
Сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.  .Если условие выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае – несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.  .Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:  .Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы  , величина которых обычно приравнивается к нулю  . Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина может быть любым положительным числом.Задача о назначениях – частный случай ТЗ. В задаче о назначениях количество пунктов отправления равно количеству пунктов назначения. Объемы потребности и предложения в каждом из пунктов назначения и отправления равны 1. Примером типичной задачи о назначениях является распределение работников по различным видам работ, минимизирующее суммарное время выполнения работ. Переменные задачи о назначениях определяются следующим образом  Количество переменных и ограничений в транспортной задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта. Общая распределительная задача ЛП Общая распределительная задача ЛП – это распределительная задача (РЗ), в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов. Исходные параметры модели РЗ n – количество исполнителей; m – количество видов выполняемых работ;  – запас рабочего ресурса исполнителя  ( ) [ед.ресурса]; – план по выполнению работы  ( ) [ед. работ]; – стоимость выполнения работы исполнителем [руб./ед. работ]; – интенсивность выполнения работы исполнителем [ед. работ/ед.ресурса]. – планируемая загрузка исполнителя при выполнении работ [ед. ресурса]; – количество работ , которые должен будет произвести исполнитель [ед. работ]; – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ [руб.].Этапы построения модели
Общий вид распределительной матрицы
Модель РЗ  ; где  – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем.Целочисленное программирование Задачи оптимизации, в которых переменные принимают целочисленные значения, относятся к целочисленному программированию. Обозначим некоторые из таких задач. Задача о выборе оборудования. Задача отличается от задачи линейного программирования только условием целочисленности, поскольку численность оборудования не может выражаться дробным числом. Задача о ранце. Общий вес ранца заранее ограничен. Какие предметы положить в ранец, чтобы общая полезность отобранных предметов была максимальна? Вес каждого предмета известен. С точки зрения экономики предприятия и организации производства более актуальна интерпретация задачи о ранце, в которой в качестве “предметов” рассматриваются заказы (или варианты выпуска партий тех или иных товаров), в качестве полезности – прибыль от выполнения того или иного заказа, а в качестве веса – себестоимость заказа. В отличие от предыдущих задач, управляющие параметры принимают значения из множества, содержащего два элемента - 0 и 1(то есть заказ принят или нет). К целочисленному программированию относятся задачи размещения (производственных объектов), теории расписаний, календарного и оперативного планирования, назначения персонала и т.д. В качестве наиболее распространенных методов решения задач целочисленного программирования можно назвать: метод приближения непрерывными задачами и метод направленного перебора. Модели сетевого планирования и управления Сетевой моделью (другие названия: сетевой график, сеть) называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта (научно-исследовательского, производственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и, во-вторых, определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ. Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений, что оправдывает рассмотрение этого типа моделей в данной главе. Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов. Графом называется совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, т. е. на каждом ребре задается направление, то граф называется ориентированным; в противном случае — неориентированным. Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным. В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть. Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями. Сеть — это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть». В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ). Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п. Основой СПУ является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы. Пример сетевого графика приведен ниже.  Ориентированный граф был бы полезен, например, для иллюстрации организации перевозок в транспортной задаче. В экономике дугам ориентированного или обычного графа часто приписывают числа, например, стоимость проезда или перевозки груза из пункта А (начальная вершина дуги) в пункт Б (конечная вершина дуги). Некоторые, наиболее типичные задачи принятия решений, связанных с оптимизацией на графах. Задача коммивояжера. Задача коммивояжера. Требуется посетить все вершины графа и вернуться в исходную вершину, минимизировав затраты на проезд (или минимизировав время). Исходные данные - это граф, дугам которого приписаны положительные числа - затраты на проезд или время, необходимое для продвижения из одной вершины в другую. В общем случае граф является ориентированным, и каждые две вершины соединяют две дуги - туда и обратно. Действительно, если пункт А расположен на горе, а пункт Б - в низине, то время на проезд из А в Б, очевидно, меньше времени на обратный проезд из Б в А. Многие постановки экономического содержания сводятся к задаче коммивояжера. Например: - составить наиболее выгодный маршрут обхода наладчика в цехе (контролера, охранника, милиционера), отвечающего за должное функционирование заданного множества объектов (каждый из этих объектов моделируется вершиной графа); - составить наиболее выгодный маршрут доставки деталей рабочим или хлеба с хлебозавода по заданному числу булочных и других торговых точек (парковка у хлебозавода). Задача о кратчайшем пути Задача о кратчайшем пути. Как кратчайшим путем попасть из одной вершины графа в другую? В терминах производственного менеджмента: как кратчайшим путем (и, следовательно, с наименьшим расходом топлива и времени, наиболее дешево) попасть из пункта А в пункт Б? Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа должно быть сопоставлено число - время движения по этой дуге от начальной вершины до конечной. Оптимизационные задачи на графах, возникающие при подготовке управленческих решений в производственном менеджменте, весьма многообразны. Задача о максимальном потоке Задача о максимальном потоке. Как (т.е. по каким маршрутам) послать максимально возможное количество грузов из начального пункта в конечный пункт, если пропускная способность путей между пунктами ограничена? Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа, соответствующего транспортной системе, должно быть сопоставлено число - пропускная способность этой дуги. О многообразии оптимизационных задач. В различных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теоретико-экономических исследованиях. Например, задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства. Конкретные виды задач оптимизации и методы их решения рассматриваются в соответствующей литературе. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;
, [руб./ед. прод.]
Похожие:
 |
Компьютерные информационные технологии курс лекций Именно этим определяется актуальность и необходимость освоения основ компьютерных информационных технологий. Знание компьютерных... |
 |
Российской Федерации Тольяттинский государственный университет Кафедра... Курс лекций дисциплины «Компьютерные технологии и сапр» для студентов специальностей 120500, 120507, 120700 очной |
|
Учебное пособие (Курс лекций) по учебной дисциплине «Информационные... Демьянов А. В. преподаватель фгбоу впо «Брянская государственная сельскохозяйственная академия» Мичуринского филиала |
|
Отчет по практике «Информационные компьютерные системы и технологии... «Информационные компьютерные системы и технологии в ресторанно-гостиничном бизнесе» |
|
Лекция Введение в курс «Компьютерные технологии в науке и образовании» Лекция Классификация и характеристика программных средств информационной технологии обучения (ито) 18 |
|
Курс лекций ббк20. 1 я7 к 17 Калыгин В. Г К а л ы г и н В. Г. Промышленная экология. Курс лекций. М.: Изд-во мнэпу, 2000. 240 с |
|
Конспект лекций по дисциплине системы обработки экономической информации... Понятие информационная потребность тесно связано с понятием цели и функции управления. Можно сказать, что потребность в информации... |
|
1. Предмет и основные понятия корпоративных информационных систем. 4 Компьютерные информационные технологии в управлении экономическим объектом. Классификация систем управления. 4 |
|
Компьютерные, сетевые и информационные технологии Магда Ю. С. Микроконтроллеры pic 24. Архитектура и программирование / Ю. С. Магда.— Москва : дмк : Додэка-xxi, 2009.— 240 с |
|
Курс лекций по дисциплине: «Санитария и гигиена» 2015г Курс лекций предназначен для изучения дисциплины «Санитария и гигиена» обучающимися 1 курса специальности «Парикмахер» |
|
Курс лекций, прочитанный для студентов Московской Духовной Академии «Духовная Библиотека» Когда я по благословению церковных властей читал курс лекций в Академии, то не предполагал, что они когда-нибудь будут изданы |
|
Курс лекций по дисциплине оп. 13 «автомобильные эксплуатационные материалы» 2016 г Курс лекций содержит основные сведения по производству и применению автомобильных эксплуатационных материалов. В данном курсе рассмотрены... |
|
Морозова М. А. Информационные технологии в социально-культурном сервисе и туризме. Оргтехника Информационные технологии, используемые в гостиничном комплексе «Континент» |
|
Программа дисциплины «информационные технологии в менеджменте» для... Дисциплина включает два раздела: «Часть I. Методы и инструменты анализа данных в логистике» (I курс, 3 и 4 модуль) и «Часть II. Системы... |
|
Курс лекций Педагогическое общество России Москва 2001 Б 53 Социальное прогнозирование. Курс лекций.— М.: Педагогическое общество России 2002. — 392 с |
|
Т. Е. Мамонова информационные технологии Информационные технологии. Организация информационных процессов. Технология компьютерного моделирования: учебное пособие / Т. Е.... |