МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной и методической работе
_______________ Д.А. Зубцов
«___»______________ 20___ г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
по дисциплине: Теория марковских цепей
по направлению: Прикладные математика и физика (бакалавриат)
профиль подготовки/
магистерская программа: Инфокоммуникационные и вычислительные системы и технологии
факультет: радиотехники и кибернетики
кафедра: проблем передачи информации и анализа данных
курс: 4
квалификация: бакалавр
Семестр, формы промежуточной аттестации: 7 (Осенний) - Экзамен
Аудиторных часов: 34 всего, в том числе:
лекции: 34 час.
практические (семинарские) занятия: 0 час.
лабораторные занятия: 0 час.
Самостоятельная работа: 10 час. всего, в том числе:
задания, курсовые работы: 0 час.
Подготовка к экзамену: 30 час.
Всего часов: 70, всего зач.ед.: 2
Программу составил: А.Н. Соболевский, доктор физико-математических наук
Программа обсуждена на заседании кафедры
21 мая 2015 года
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой А.П. Кулешов
Декан факультета радиотехники и кибернетики С.Н. Гаричев
Начальник учебного управления И.Р. Гарайшина
1. Цели и задачи
Цель дисциплины
Освоение студентами теории марковских цепей как составной части теории случайных процессов, а также связанных с ней разделов общей теории (стационарные, гауссовские процессы). Знакомство с приложениями, в частности к теории очередей.
Задачи дисциплины
- фундаментальная подготовка студентов в двух областях теории вероятностей: теории массового обслуживания (ТМО) и теории случайных процессов (ТСП);
- оказание консультаций студентам в проведении собственных теоретических и экспериментальных исследований телекоммуникационных сетей и систем.
2. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы бакалавриата (магистратуры
Дисциплина «Теория марковских цепей» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла Б.1.
Дисциплина «Теория марковских цепей» базируется на дисциплинах:
Дополнительные главы теории вероятностей;
Теория вероятностей;
Теория функция комплексной переменной;
Математический анализ.
Дисциплина «Теория марковских цепей» предшествует изучению дисциплин:
Теоретические основы беспроводной связи;
Основы статистического моделирования и исследование зависимостей;
Обработка изображений.
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
Освоение дисциплины «Теория марковских цепей» направлено на формирование следующих общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра/магистра:
способность анализировать научные проблемы и физические процессы, использовать на практике фундаментальные знания, полученные в области естественных наук (ОК-1);
способность осваивать новую проблематику, терминологию, методологию и овладевать научными знаниями и навыками самостоятельного обучения (ОК-2);
способность логически точно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь, формулировать свою точку зрения; владение навыками ведения научной и общекультурной дискуссий (ОК-4);
способность применять в своей профессиональной деятельности знания, полученные в области физических и математических дисциплин, включая дисциплины: информатика, программирование и численные методы; физические основы получения, хранения, обработки и передачи информации; высшая математика (ПК-1);
способность понимать сущность задач, поставленных в ходе профессиональной деятельности, и использовать соответствующий физико-математический аппарат для их описания и решения (ПК-3);
способность использовать знания в области физических и математических дисциплин для дальнейшего освоения дисциплин в соответствии с профилем подготовки (ПК-4);
способность применять теорию и методы математики для построения качественных и количественных моделей (ПК-8);
способность работать в коллективе исполнителей над решением конкретных исследовательских и инновационных задач (ПК-9).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
основные понятия и утверждения теории марковских цепей;
основные понятия и утверждения теории массового обслуживания (ТМО);
- основные понятия и утверждения теории случайных процессов (ТСП);
- современные направления развития теории вероятностей;
уметь:
- строить математические модели процессов, для которых марковское свойство является адекватным приближением;
- применять математический аппарат теории марковских цепей и ТСП для решения научно-исследовательских задача в области телекоммуникационных сетей и систем;
владеть:
- навыком освоения большого объема информации;
- навыками постановки научно-исследовательских задач и аналитического моделирования процессов и явлений в области телекоммуникационных сетей и систем.
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
№
|
Тема (раздел) дисциплины
|
Виды учебных занятий, включая самостоятельную работу
|
Лекции
|
Практич. (семинар.) занятия
|
Лаборат. работы
|
Задания, курсовые работы
|
Самост. работа
|
1
|
Напоминание основных понятий, конструкций и приемов вычислений
|
2
|
|
|
|
0
|
2
|
Цепи Маркова в дискретном времени
|
4
|
|
|
|
2
|
3
|
Цепи Маркова в непрерывном времени и процесс Пуассона
|
4
|
|
|
|
2
|
4
|
Процессы рождения и гибели. Применения к задачам ТМО
|
6
|
|
|
|
2
|
5
|
Основы общей теории случайных процессов
|
6
|
|
|
|
0
|
6
|
Стационарные случайные процессы
|
6
|
|
|
|
2
|
7
|
Гауссовские случайные процессы
|
6
|
|
|
|
2
|
Итого часов
|
34
|
|
|
|
10
|
Общая трудоёмкость
|
44 час., 1 зач.ед.
|
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Семестр: 7 (Осенний)
1. Напоминание основных понятий, конструкций и приемов вычислений.
Вероятностное пространство и распределение вероятностей. Дискретные и непрерывные скалярные случайные величины. Кумулятивная функция распределения вероятности (к.ф.р.), функция плотности вероятности (ф.п.в.) и характеристическая функция распределения вероятности (х.ф.). Распределения и совместные распределения случайных величин, моменты. Маргинальные и условные распределения. Независимые случайные величины. Производящие функции (п.ф.) распределения вероятности и моментов. Поведение п.ф., х.ф., мат. ожидания и дисперсии при сложении независимых случайных величин. Логарифм х.ф. (характеристический показатель) и кумулянты случайной величины.
2. Цепи Маркова в дискретном времени.
Цепь Маркова с конечным числом состояний. Граф цепи Маркова и матрица вероятностей перехода. Стационарное распределение цепи Маркова. Принцип детального равновесия, обратимые цепи Маркова. Классификация состояний однородной цепи Маркова.
Эргодическая теорема для конечных однородных цепей Маркова. Существование и единственность стационарного распределения в общей неприводимой непериодической цепи Маркова, структура множества стационарных распределений в общем случае.
3. Цепи Маркова в непрерывном времени и процесс Пуассона.
Предельный переход к непрерывному времени в цепи Маркова. Стохастические матрицы и генераторы, определение стационарного состояния в терминах генератора. Матричная экспонента и другие функции от матриц, приемы их вычисления. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.
Пуассоновский поток. Прореживание пуассоновских потоков. Суперпозиция пуассоновских потоков. Помеченный пуассоновский поток. Пуассоновские точечные поля (однородные и неоднородные). Характеристический функционал пуассоновского поля, теорема Кэмпбелла и ее обобщения.
4. Процессы рождения и гибели. Применения к задачам ТМО.
Марковский процесс рождения в непрерывном времени. Взрыв, критерий взрыва в терминах интенсивностей перехода. Минимальное решение уравнений Колмогорова для взрывного процесса. Процессы рождения и гибели, взрывы в них. Вложенная цепь Маркова. Возвратность и невозвратность. Стационарное состояние. Обратимые процессы рождения-гибели.
Системы М/М/1 и M/M/∞. Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди. Сети с очередями Джексона.
Принципы больших уклонений для процесса рождения и гибели и для сети Джексона.
5. Основы общей теории случайных процессов.
Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр. Вероятностное пространство Штейнгауза.
Задание случайного процесса иерархией функций распределения. Условия согласования многовременных распределений, теорема Колмогорова (без доказательства). Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.
Мартингалы и субмартингалы. Разложение Дуба. Основные конструкции случайных процессов, являющихся мартингалами и субмартингалами. Сходимость субмартингалов.
6. Основы теории стационарных случайных процессов.
Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности. Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, «белый» и «цветной» шум.
Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.
7. Гауссовские случайные процессы.
Случайное блуждание и процесс Винера как его предел. Диффузионные процессы и уравнение Фоккера-Планка (с выводом). Краевые условия для уравнения Фоккера-Планка. Распределение времени выхода. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.
Гауссовский случайный процесс (общее определение). Гильбертово пространство, связанное с общим гауссовским процессом. Корреляции гауссовского процесса и метрика на пространстве параметра. Большие уклонения в гауссовских процессах.
Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастическое дифференциальное исчисление Ито.
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Учебная аудитория, оснащенная мультимедийным оборудованием (проектор или плазменная панель), доской.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения дисциплины (модуля)
Основная литература
1. Ширяев А.Н. Вероятность. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МЦНМО, 2004. Кн.1 - 520 с. Кн.2 - 408 с.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т.1. - 511 с. Т.2. - 738 с.
3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003. – 400 с.
Дополнительная литература
1. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа. 1990. - 376 с.
2. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. - 528 с.
3. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1976. - 484 с.
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине (модулю)
1. Ширяев А.Н. Задачи по теории вероятностей. М.: МЦНМО, 2011.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Любое издание (разделы задач в конце каждой главы).
3. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990 (разделы задач в конце каждой главы).
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимых для освоения дисциплины (модуля)
1. Электронные ресурсы:
Statistics 110: Probability by Harvard University, http://itunes.apple.com/us/course/statistics-110-probability/id502492375
9. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости)
На лекционных занятиях используются мультимедийные технологии, включая демонстрацию презентаций.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Студент, изучающий дисциплину, должен, с одной стороны, овладеть общими понятийным аппаратом, а с другой стороны, должен научиться применять теоретические знания на практике.
В результате изучения дисциплины студент должен знать основные понятия и утверждения теории массового обслуживания, теории случайных процессов, современные направления развития теории вероятностей.
Успешное освоение курса требует напряженной самостоятельной работы студента. В программе курса отведено минимально необходимое время для работы студента над темой. Самостоятельная работа включает в себя:
- чтение и конспектирование рекомендованной литературы;
- проработку учебного материала (по конспектам занятий, учебной и научной литературе), подготовку ответов на вопросы, предназначенные для самостоятельного изучения, решение задач;
- подготовка к экзамену.
Руководство и контроль за самостоятельной работой студента осуществляется в форме индивидуальных консультаций.
Важно добиться понимания изучаемого материала, а не механического его запоминания. При затруднении изучения отдельных тем, вопросов следует обращаться за консультациями к лектору.
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам обучения
Приложение.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Теория марковских цепей»
1. Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков
Перечень контрольных вопросов к экзамену:
1. Распределение вероятности на числовой прямой: каким условиям удовлетворяет, как задается (перечислите все известные вам способы), какими параметрами может быть охарактеризовано.
2. Совместное распределение вероятности нескольких случайных величин. Маргинальные и условные распределения, независимость.
3. Потоки событий, марковское свойство и рекуррентность.
4. Основные понятия теории массового обслуживания.
5. Передача в канале без шума и длиной пакетов с экспоненциальным распределением как система M/M/1.
6. Система M/M/1. Оценка среднего времени ожидания пакета в очереди методом производящих функций.
7. Центральная предельная теорема (формулировка и доказательство сходимости к характеристической функции нормального распределения).
8. Цепь Маркова с конечным числом состояний: определение при помощи помеченного графа и матрицы, вероятности перехода и маргинальные вероятности, стационарные распределения.
9. Эргодическая теорема для цепей Маркова: классификация состояний и доказательство для неприводимой нециклической цепи.
10. Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр.
11. Случайное блуждание и процесс Винера как его предел.
12. Описание статистики случайного процесса в терминах корреляционных функций. Теорема Колмогорова (без доказательства).
13. Марковские процессы. Уравнение Смолуховского. Условия, при которых оно переходит в уравнение Фоккера-Планка (диффузионный процесс), и вывод последнего уравнения из уравнения Смолуховского.
14. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.
15. Марковские процессы со скачками. Уравнение Колмогорова-Феллера.
16. Уравнение Ланжевена для импульса броуновской частицы («поршень Рэлея»). Процесс Орнштейна-Уленбека.
17. Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастический дифференциал Ито. Примеры стохастических дифференциалов.
18. Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности.
19. Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, «белый» и «цветной» шум.
20. Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.
2. Критерии оценивания
Оценка
|
Баллы
|
Критерии
|
отлично
|
10
|
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины, проявляющему интерес к данной предметной области, продемонстрировавшему умение уверенно и творчески применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений.
|
9
|
Выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений.
|
8
|
Выставляется студенту, показавшему систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, правильное обоснование принятых решений, с некоторыми недочетами.
|
хорошо
|
7
|
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но недостаточно грамотно обосновывает полученные результаты.
|
6
|
Выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач некоторые неточности.
|
5
|
Выставляется студенту, если он в основном знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач достаточно большое количество неточностей.
|
удовлетворительно
|
4
|
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он освоил основные разделы учебной программы, необходимые для дальнейшего обучения, и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации.
|
3
|
Выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, допускающему ошибки в формулировках базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, слабо владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения и с трудом применяет полученные знания даже в стандартной ситуации.
|
неудовлетворительно
|
2
|
Выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных принципов и не умеет использовать полученные знания при решении типовых задач.
|
1
|
Выставляется студенту, который не знает основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубейшие ошибки в формулировках базовых понятий дисциплины и вообще не имеет навыков решения типовых практических задач.
|
3. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
Экзамен проводится в устной форме.
При проведении устного экзамена обучающемуся предоставляется 30 минут на подготовку. Опрос обучающегося по билету на устном экзамене не должен превышать двух астрономических часов.
Во время проведения экзамена обучающиеся могут пользоваться программой дисциплины, а также справочной литературой, вычислительной техникой и проч.
|
