Функциональные модели уравнивания. Уравнение связи или математическая модель уравнивания спутниковой геодезической сети (СГС) определяет соотношение между измеренными величинами (компонентами вектора базовой линии) и параметрами сети, в качестве которых здесь выступают координаты пункта наблюдений.
Уравнивание СГС можно производить в прямоугольных пространственных координатах X, Y, Z, в геодезических координатах B, L, H на эллипсоиде, или в плоских координатах в некоторой проекции.
Уравнивание в прямоугольной системе координат. Если уравнивание производится в прямоугольных пространственных координатах параметрическим методом, то математической моделью измерений является обычная модель уравнений наблюдений:
 , (11.60)
где  - уравненный вектор наблюдений, а  - уравненные координаты станций. Такая математическая модель от природы линейна. Вектор наблюдений между станциями А и В записывается как
 . (11.61)
Выразим координаты станций через их предварительные (априорные) значения  и поправки к ним  :
 , (11.62)
Теперь уравнение поправок для одной базовой линии можно записать в виде:
 , (11.63)
или
 , (11.64)
где  - вектор поправок (матрица-столбец) в измеренные компоненты вектора базовой линии  :
 , (11.65)
а  - свободный член, определяемый выражением:
 . (11.66)
Система уравнений поправок для всей сети записывается в виде:
 . (11.67)
Матрица коэффициентов А для модели (11.67) состоит из 1, -1 и 0, ее фрагмент для линии AB выглядит следующим образом:
 . (11.68)
Матрица А выглядит так же, как для нивелирной сети. Каждая базовая линия вносит в матрицу плана три строки. Каждой станции сети принадлежат три столбца. Вектор неизвестных поправок в параметры  состоит из векторов поправок  в координаты пунктов:
 (11.69)
а вектор свободных членов l и вектор поправок v состоят соответственно из отдельных векторов свободных членов и векторов поправок в компоненты базовых линий.
Из-за того, что наблюдение вектора содержит информацию об ориентировке и масштабе сети, достаточно зафиксировать только начало координатной системы. Минимальные ограничения для фиксирования начала можно наложить просто удалением трех параметров координат одной станции из набора параметров. Таким приемом данная станция будет зафиксирована.
При ограниченном уравнивании в качестве дополнительных неизвестных в параметрические уравнения могут вставляться параметры связи между системами координат и высот.
Стохастические модели уравнивания сети. Важность стохастической модели сети очевидна: она дает информацию о точности измерений. Тем самым достигается исправление более грубых измерений большими поправками, а более точных измерений – меньшими поправками. Если же стохастическая модель сети содержит ошибочную информацию, то результаты уравнивания и заключение о нем могут оказаться ненадежными.
Стохастическая модель сети, построенной по ГЛОНАСС/GPS измерениям, представляется ковариационными матрицами KXYZ, полученными при решении отдельных базовых линий:
 , (11.79)
в которых диагональные члены – дисперсии приращений координат базовых линий, а недиагональные члены – их ковариации. В случае обработки одновременных наблюдений R приемниками имеется полная ковариационная матрица для группы из R станций (или R-1 независимых базовых линий). Она имеет размер 3(R-1)3(R-1).
Использование дисперсий (квадратов средних квадратических ошибок) как основы для назначения весов наблюдений подразумевает, что ошибки наблюдений (компонент базовой линии) имеют нормальное распределение. Однако это может быть ошибочное предположение, которому практически нет альтернативы.
Одной из характерных особенностей спутниковых методов является существенное преобладание систематических ошибок над случайными. Практически всегда при решении базовых линий в ковариационных матрицах для приращений координат получаются миллиметровые точности, особенно при удачном разрешении неоднозначностей по двойным разностям. В то же время невязки в замкнутых фигурах, вычисляемые по этим же базовым линиям, имеют величину на сантиметровом уровне. Это происходит потому, что ковариационная матрица на выходе из решения базовой линии подразумевает точность по внутренней сходимости. В ней не учитывается влияние ошибок центрирования, измерения высоты антенны, некоррелированных ошибок тропосферной и ионосферной задержки и других, не моделируемых ошибок, которые в сеансе ведут себя как систематические ошибки (смещения). Когда на вход программы уравнивания сети будет поступать нереальная ковариационная матрица, получаемое решение не будет проходить 2-тест. Если бы можно было определить истинную ковариационную матрицу (включающую влияние не моделируемых ошибок), тогда ее можно было бы использовать вместо выходной ковариационной матрицы, полученной при первичном уравнивании сети.
Хотя ковариационные матрицы векторов базовых линий не дают возможности судить о реальной точности их координат, по ним можно составить некоторые выводы об условиях наблюдений. Но перед их использованием во вторичном уравнивании эти матрицы необходимо корректировать, приближая их к реальным условиям измерений. На практике обработчик для изменения ковариационных матриц прибегает к различным эмпирическим методам. Обычно это производится в итеративном режиме, с использованием теста на фактор дисперсии (или какой-либо другой статистический тест).
В коммерческих программах уравнивания спутниковых сетей, как правило, используются два общепринятых метода корректировки ковариационных матриц:
масштабирование ковариационных матриц, и
модификация отдельных элементов ковариационных матриц.
В первом методе применяется некоторый масштабирующий коэффициент (скаляр) w, и получается преобразованная ковариационная матрица  , в которой все дисперсии и ковариации будут хуже, чем в уравнении (11.79) [Rizos, 1999]:
 . (11.80)
Если тест не проходит, то назначается другой коэффициент, и вычисления повторяются.
6.8. Тестирование результатов уравнивания
Результаты уравнивания. Результатами уравнивания спутниковой сети являются оцененные параметры (прямоугольные, геодезические или плоские координат и высоты пунктов сети) и характеристики их точности, задаваемые в апостериорной ковариационной матрице. Ковариационная матрица решения  содержит дисперсии оцененных параметров и корреляции между ними. Эти данные используются для построения эллипсов ошибок (или эллипсоидов ошибок) положений пунктов или для эллипсов ошибок линий, характеризующих точность уравненных параметров. В дополнение к параметрам и их точностям, из решения получается другая полезная информацию: это поправки в наблюдения (или остаточные невязки)  , их ковариационная матрица  , гистограммы распределения ошибок, числа избыточности ri.
Теория МНК не требует, чтобы остаточные невязки наблюдений имели нормальное распределение. Однако если ошибки наблюдений имеют Гауссово нормальное распределение, то можно ожидать нормально распределённые остаточные невязки. Поэтому по остаточным невязкам можно выполнить несколько статистических тестов. Статистические тесты можно применить для оценки качества наблюдений и для выявления аномальных ошибок (отскоков) в измерениях [Герасименко, 1998; Rizos, 1999].
Статистическое тестирование. Уравнивание по МНК геодезических сетей редко немедленно дает приемлемые результаты по ряду различных причин. Поэтому результаты уравнивания должны быть проверены (протестированы), чтобы выявить и устранить любые ошибочные влияния. Тестирования можно применить к любому решению по МНК любых типов измерений.
Тестирование начинается с нулевой гипотезы H0, которая описывает некоторую проверяемую ситуацию. Если нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная гипотеза HA. Для выполнения тестирования вычисляются статистики, характеристики которых, в частности функция плотности вероятности, хорошо известны, если гипотеза H0 верна. В зависимости от величины вычисленного значения статистики, принимаемой за критерий, делается решение принять или отвергнуть гипотезу H0.
При выполнении тестирования возможны ошибки двух родов:
гипотеза H0 отвергается, хотя на самом деле она должна быть принята. Это ошибка I рода, вероятность ее совершения определяется уровнем значимости теста . Если уровень доверия выбран 95%, то =0.05.
гипотеза H0 принимается, хотя на самом деле она должна быть отвергнута. Это ошибка II рода, вероятность ее совершения обозначается как . Величина 1- называется мощностью теста.
Процедура тестирования может быть представлена в следующем виде:
выбор нулевой гипотезы H0;
вычисление принятого критерия t;
выбор уровня значимости и вычисление по известной плотности вероятности P критерия t его критического значения p, которое может быть превышено с вероятностью ;
если t<p, то принимается гипотеза H0, в противном случае она отвергается;
выбор вероятности и вычисление по HA предельно обнаруживаемого значения t (или выбор величины t и вычисление , то есть вероятности ошибки II рода для этого значения) [Герасименко, 1998].
Тест 2. В высокоточных спутниковых измерениях отношение апостериорной и априорной дисперсий должно быть меньше или равно 1. Когда отношение меньше 1, то это говорит о том, что предсказанные ошибки были преувеличены, и, что на самом деле точность выше, чем ожидалось. Когда отношение больше 1, то возможно, что одна или несколько предсказанных ошибок были недооценены, то есть реальные ошибки оказались больше предсказанных.
Вероятностный тест 2 основан на сумме взвешенных квадратов поправок v, числе степеней свободы r и уровне доверия (проценте вероятности). Назначение этого теста – отвергнуть или принять гипотезу о том, что предсказанные ошибки были точно оценены. Если тест не проходит, то это указывает на то, что все или несколько наблюдений необходимо проверить, или даже наблюдать повторно.
Статистикой, используемой для теста 2, является квадратичная форма оцененных поправок. Она представляет длину или норму вектора оцененных поправок в наблюдения. Математически квадратичная форма поправок определяется как
 (11.105)
где  – вектор оцененных поправок, а  – ковариационная матрица оцененных поправок. Однако матрица (формула (11.104б)) является сингулярной, поскольку имеет ранг, равный числу степеней свободы (дефект ранга равен числу наблюдений минус число степеней свободы). Поэтому квадратичная форма поправок аппроксимируется путем замены на априорную ковариационную матрицу наблюдений K, то есть
 . (11.106)
Таким образом, тест 2 становится тестом на апостериорную дисперсию единицы веса, где нулевая гипотеза H0 состоит в том, что оцененная (апостериорная) дисперсия единицы веса равна априорной дисперсии единицы веса.
Для выполнения теста 2 составляется статистика:
 . (11.107)
Заметим, что n-u – число степеней свободы уравнивания, которое принимается при отсутствии дефекта ранга в матрице коэффициентов. Основываясь на статистике (11.102) можно выполнить тест по обнаружению нарушения уравнивания. Гипотезы формулируются следующим образом:
 , (11.108а)
 , (11.108б)
Нулевая гипотеза утверждает, что априорная дисперсия единицы веса в статистическом смысле равна апостериорной дисперсии единицы веса. Если численное значение
 (11.109)
таково, что
 . (11.110а)
 . (11.110б)
то нулевая гипотеза отвергается. Уровень значимости , то есть вероятность ошибки I рода или вероятность отвержения нулевой гипотезы, даже если она истинная, обычно фиксируется равным 0.05. Здесь уровень значимости есть сумма вероятностей в обеих ветвях кривой распределения ошибок (рис. 11.7). Вероятность ошибки II рода (мощность теста), то есть вероятности отвержения альтернативной гипотезы и принятия нулевой гипотезы, хотя альтернативная гипотеза верна, обычно не вычисляется.
При уравнивании спутниковых данных априорная дисперсия единицы веса принимается равной единице. Если невязки наблюдений согласуются с оценками их точности (из ковариационной матрицы), и имеют нормальное распределение, то апостериорная дисперсия единицы веса должна ожидаться в интервале между 0.6 и 1.6, в зависимости от числа степеней свободы r=n - u. В программах уравнивания ее обычно называют масштабным показателем точности (reference factor). Он выводится и для всей сети, и для каждого наблюдения.
Поскольку величина   , являющаяся тестовой статистикой, следует распределению 2 с r степенями свободы, где r – число избыточности, то ожиданием  является число избыточности:  , следовательно,  , или  , поэтому  .
Если тест для сети проходит, то это свидетельствует о нормальном распределении ошибок измерений и о том, что достигнутая точность соответствует ожидавшейся точности. С помощью 2-теста оценивается приемлемость всего уравнивания, поэтому такие тесты называют глобальными. В том случае, если тест не удается, можно указать на наличие одной или нескольких из следующих проблем:
слабые оценки средних квадратических ошибок и корреляций между наблюдениями. Остаточные невязки наблюдений значительно больше или меньше, чем априорные средние квадратические ошибки. Это говорит о том, что априорная ковариационная матрица K не соответствует ожиданию и требует повторного корректирования;
неадекватная модель для учета систематических ошибок, или фиксировалось недостаточное количество параметров;
большие ошибки в одном или большем числе наблюдений, например, грубые ошибки в измерении высоты антенны, передаваемые в неправильное решение базовой линии;
низкое качество (точность) наблюдений, например, из-за недостаточной продолжительности сессий;
ошибки при вводе данных (наблюдений, соответствующих параметров или переключателей опций) [Герасименко, 1998; Падве, 2005; Leick, 1995; Rizos, 1999; Krakiwsky et al., 1999].
Тестирование ошибок измерений. При тестировании ошибок измерений предполагается, что остаточные невязки имеют нормальное распределение. Следовательно, прежде чем проводить статистические тесты, может понадобиться проверка того, что невязки имеют нормальное распределение.
Знакомая кривая частоты нормального распределения, имеющая форму колокола (рис. 11.7), показывает, что сравнительно большие невязки должны встречаться значительно реже, чем малые. Например, 99.7% всех невязок должны быть меньше, чем утроенная средняя квадратическая ошибка, вычисленная по невязкам.
Если одна или несколько невязок значительно превышают другие невязки в наборе, тогда нужно решить:
являются ли аномальные наблюдения экстремальным случаем в нормальном распределении, и в таком случае его нужно сохранить, или
является ли это наблюдение указанием на содержание аномальных ошибок, известных как «отскоки» или «промахи», и тогда его нужно удалять.
Границей между большой ошибкой, относящейся к нормальному распределению, и аномальной ошибкой из альтернативного распределения является критическое значение, которое устанавливается в зависимости от принятой вероятности. Для вероятностей 95, 99 и 99.9% критические значения составляют соответственно 1.96, 2.58 и 3.29. Величина, выбранная для критического значения, будет также определять, какой процент хороших наблюдений будет некорректно отвергнутым. Если в качестве критического значения выбрана величина 2.58 (уровень доверия 99%), то ожидается, что будет отвергнут 1% хороших данных (вместе с любыми наблюдениями, имеющими «истинные» большие ошибки), – это и есть ошибки I рода.
Рис. 11.7. Несмещённое и смещённое нормальное распределение остаточных невязок [Rizos, 1999]
Второй тип ошибочного исхода тестирования наблюдений по невязкам состоит в принятии плохого наблюдения (которое, как предполагается, принадлежит нормальному распределению), которое должно быть отвергнуто (то есть принадлежит альтернативному распределению) – в литературе по статистике считается как ошибка II рода. Вероятность совершения ошибки II рода рассматривается как мощность теста (=0.30, 0.20 и 0.10, что соответствует вероятностям 30, 20 и 10% соответственно). Следовательно, если мощность установлена на 20%, то это значит, что есть 20% вероятности неправильного принятия наблюдений, которые должны быть отвергнуты (или 80% вероятности правильного выявления аномальных ошибок). Альтернативное распределение может быть нормальным распределением, но с другим средним и средней квадратической ошибкой. Такая ситуация возможна, если наблюдения оказались систематически смещенными на некоторую величину.
Когда наблюдения не смещены, (то есть не содержат большую ошибку), нормированные невязки центрируются в левой части нормального распределения (рис. 11.7). Это наблюдение принимается внутри набора границ посредством выбора уровня значимости (здесь 1%, или 0.5% с каждой стороны от значения). Однако если наблюдение смещено, то нормированная невязка будет также смещена, и её распределение будет центрировано относительно другого среднего (правая сторона нормального распределения). Здесь также есть возможность того, что величина аномальной нормированной невязки будет в пределах между -2.58 и +2.58, и будет ошибочно принята как несмещённая невязка. Вероятность этого события равна 20%. Величину рассматривают как верхнюю границу, равную сумме a и b, где a – функция параметра , а b – функция параметра . К примеру, если =0.01, а =0.20, то a=2.58 и b=0.84, что даёт в результате =3.42 [Rizos, 1999].
Тау тест. Тест был предложен американским ученым Поупом (Pope A.J.). В этом тесте ошибки II рода не учитываются. Тест принадлежит к группе тестов Стьюдента, которые используют полученную из наблюдений апостериорную дисперсию единицы веса. Статистика теста в соответствии с [Leick, 1995] представляется как
 n-r (11.111)
Символом n-r обозначено - распределение с n-r степенями свободы. Оно связано со статистикой Стьюдента t через соотношение:
 (11.112)
При бесконечно большом числе степеней свободы - распределение стремится к распределению Стьюдента или к нормальному распределению, то есть  .
При выполнении -теста проверяется гипотеза о том, что все невязки следуют нормальному распределению: vi  для всех i. Гипотеза отвергается, то есть наблюдение отмечается флагом для дальнейшего исследования и возможного отвержения, если
 . (11.113)
Критическое значение с выбирается в соответствии с уровнем значимости  , для которого используется фиксированное, заранее выбранное значение, скажем, =0.05. Критическое значение c связано с числом наблюдений в уравнивании n:  . Таким образом, критическое значение определяется как
 (11.114)
Критическое значение c становится функцией числа степеней свободы и количества наблюдений.
Метод data snooping. Разработанный голландским геодезистом В. Баарда (Willem Baarda) метод data snooping («просмотр данных») или w-тест также часто применяется к тестированию индивидуальных поправок. Теория метода предполагает, что в наборе наблюдений присутствует только один промах. Нулевая гипотеза записывается как
 n(0, 1) (11.115)
При уровне значимости 5% критическое значение равно 1.96. Критическое значение для этого теста не является функцией числа наблюдений в уравнивании. Статистика (11.115) использует априорное значение  , а не апостериорную оценку  .
Статистики (11.111) и (11.115) являются функциями индивидуальных чисел избыточности ri. Для данного размера поправок соответствующие наблюдения являются более вероятно отвергаемыми в тех случаях, когда меньше числа избыточности. Поскольку принятие промахов увеличивается с уменьшением чисел избыточности, повышенная чувствительность критического значения к малым числам избыточности представляется желательным свойством. И тест, и метод data snooping хорошо работают в итеративных решениях. На каждой итерации наблюдения с наибольшим промахом должны удаляться. Поскольку МНК пытается распределить грубые ошибки, несколько правильных наблюдений могли бы принять на себя большие поправки и могли бы быть отмечены флагами ошибочно.
Стратегия поиска ошибок. Поскольку все поправки в уравнивании обычно коррелированны, отвержение измерений должно проходить последовательно, шаг за шагом, каждый раз исключая по одной большой ошибке. Вначале из вектора наблюдений удаляются самая большая невязка, отмеченная как аномальная, уравнивание повторяется, и тестирование невязок выполняется вновь. Удаление одного измерения в уравнивании может значительно влиять на результаты и изменять характер ошибок и связанных с ними тестовых статистик. Следовательно, удаление многих измерений может приводить к ошибочному выбрасыванию хороших данных.
В случае единственной аномальной ошибки в уравнивании, представляющей один компонент базовой линии, нужно бы удалять не только наблюдение этого компонента, но всю базовую линию (то есть все три компонента). Дальнейшая проблема состоит в том, что три «наблюдения» базовой линии коррелированны, что делает статистическое тестирование ненадежным. Более оправдано было бы удаление только плановых компонент или только высотной компоненты вектора.
Статистика w-теста имеет стандартное нормальное распределение, когда нет отскоков в уравнивании. В ситуации, когда статистика теста превосходит критическое значение при желаемом уровне значимости, соответствующее измерение отмечается флагом возможной аномальной ошибки. Тест выполняется для каждого измерения и наибольшая величина (когда один отскок может вызывать неудачу множественного теста), которая превосходит максимальное значение, считается отскоком и удаляется из модели. Такое w-тестирование выполняется вновь, чтобы посмотреть, нет ли еще отскоков. Если находится другая аномальная ошибка, ее удаляют из модели, а измерение, которое первым рассматривалось отскоком, восстанавливается, и модель тестируется вновь. Такая процедура «data-snooping» повторяется до тех пор, пока никакие аномальные ошибки больше не будут выявляться.
В том случае, когда уравниваемая сеть достаточно сложная, целесообразно для выявления ошибок разбивать ее на части и каждую часть тестировать отдельно. Другой выход – начать уравнивание с некоторой части сети и затем постепенно наращивать сеть, выполняя последовательное тестирование [Герасименко, 1998; Leick, 1995; Rizos, 1999].
Точность. Средние квадратические ошибки координат находятся как квадратные корни из диагональных элементов ковариационной матрицы параметров . Очень часто для представления точности координат используются эллипсы или эллипсоиды ошибок. В случае плановых координат ковариационная матрица координат точек, извлечённая из полной ковариационной матрицы, имеет вид:
 (11.116)
где  - коэффициент корреляции,  и  - средние квадратические ошибки координат, а  - ковариация между координатами.
Эллипс показывает размеры области доверия к координатам отдельной точки, не зависимо от любых других точек в уравнивании. Чтобы определить эллипс ошибок, необходимо определить размер и ориентировку большой и малой полуоси эллипса. Дирекционный угол направления, для которого  максимально, равен
 . (11.117)
Формулы для большой полуоси a и малой полуоси b имеют вид:
 (11.118)
 (11.119)
Если строятся «стандартные» эллипсы ошибок (формулы (11.118) и (11.119)), то вероятность того, что точка будет в эллипсе для двухмерного случая равна 39%. Нередко даются эллипсы с уровнем доверия 95%, то есть в 2.45 раза больше их «стандартного» размера.
Часто более важно получать оценки точности относительных положений точек, а не их абсолютных положений. Эти оценки можно также найти по ковариационным матрицам координат. Рассмотрим две точки A и B, соответствующая им часть ковариационной матрицы есть:
 (11.120)
Тогда
 (11.121а)
 (11.121б)
 (11.121в)
Ориентировку и длину большой и малой полуосей эллипсов для линий можно получить из уравнений вида (11.117), (11.118) и (11.119), тем же способом, что и для эллипсов точек [Rizos, 1999; Strang, Borr, 1997; Глушков и др., 2002].
Точность можно проконтролировать путем сравнения с заранее установленной информацией. Обычно этот контроль включает вычисление ошибок по разностям на контрольных точках, которые являются геодезическими точками с известными координатами, не включавшимися в уравнивание фиксированными. При избыточном числе опорных пунктов этот прием используется для выявления ошибок в исходных данных. Другой метод – вначале уравнять сеть с минимальными ограничениями или как свободную сеть, в любом случае, без внешних влияний на форму сети; затем используется 7- (или 4- для плановой сети) - параметрическое преобразование, чтобы подогнать свободно уравненную сеть ко всем фиксированным точкам через пост-обработку. Невязки после этого эффективно указывают ошибки, такие же, как по контрольным точкам.
Числа избыточности. Важную информацию могут также давать числа избыточности. Число избыточности для векторов изменяются от нуля до трёх. Проверка выбранного набора чисел избыточности обнаруживает те части сети, которые либо содержат избыточные наблюдения (буквально) или, более опасно, недостаточные наблюдения. Нулевая избыточность подразумевает наличие станций, которые определяются только одним вектором. Это создает полностью неконтролируемую ситуацию. Необходимо исследовать наименьшие числа избыточности. К примеру, если станция определяется двумя векторами, и у одного из этих векторов было уменьшение веса, в автоматизированной процедуре поиска ошибок, то другой вектор имеет малое число избыточности, даже если он может оказаться правильным и точно определённым вектором. Из-за того, что у второго вектора уменьшили вес, здесь создаётся особенно неконтролируемая ситуация. Для больших сетей числа избыточности являются прекрасным средством для нахождения слабых мест сети. Нужно не только проверить число избыточности для векторов, но также нужно вычислять среднее число избыточности для каждой станции. Малые числа избыточности для станции указывают на области, которым были бы полезны дополнительные наблюдения [Leick, 1994a, 1995].
Тема 7. Государственная нивелирная сеть. Назначение и требуемая точность. Схема и программа построения нивелирной сети на разных этапах ее развития. Методы высокоточного нивелирования, гравиметрическое обеспечение нивелирных линий.
7.1. Назначение и требуемая точность нивелирной сети. Схема и программа построения нивелирной сети на разных этапах ее развития
Основное назначение Главной высотной основы (ГВО) России, состоящей из линий нивелирования I и II классов – распространение единой системы нормальных высот по всей территории страны.
Сгущение нивелирной сети I и II классов осуществляется нивелированием III и IV классов, что позволяет повысить плотность пунктов единой системы высот на территории страны.
Кроме своего основного назначения ГВО России обеспечивает решение научных задач, таких как изучение фигуры Земли и вертикальных движений земной поверхности.
Данные о точных высотах земной поверхности используются во многих отраслях государства: в картографировании территорий, при проектировании, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений, для водного хозяйства, гидроэнергетики.
Исходным пунктом ГВО России с 1873 г. является нуль Кронштадтского футштока. Высоты всех пунктов на территории России определяются относительно исходного пункта.
Государственная высотная основа. Государственная геодезическая высотная основа, как и плановая, строится в соответствии с принципом перехода от общего к частному и подразделяется на четыре класса. Все четыре класса создаются методом геометрического нивелирования.
Нивелирная сеть 1 - го класса имеет наивысшую точность. Ходы нивелирования 1-го класса прокладывают по специально разработанным, с учётом геофизической ситуации, маршрутам между основными морями. Средняя квадратическая погрешность нивелирования составляет 0.5 мм на 1 км хода при систематической ошибке не более 0.05 мм. Характерной особенностью нивелирования первого класса является то, что его периодически повторяют по тем же маршрутам, в результате чего получают данные для анализа вертикальных движений земной коры.
Нивелирная сеть 2 - го класса строится с опорой на нивелирную сеть 1-го класса в виде полигонов периметром 500-600 км. Высотная невязка в полигонах не должна превышать мм, где - периметр полигона в км. С помощью ходов нивелирования 1-2 классов на всей территории страны вводится единая Балтийская система высот.
Нивелирные линии I и II классов
Нивелирование сети 3 - го и 4 - го классов служат для сгущения сетей 1 и 2 классов. Ходы нивелирования 3 и 4 классов должны опираться с обоих концов на закреплённые точки ходов более высоких классов или образовывать сомкнутые полигоны. Высотная невязка ходов не должна превышать и мм для 3 и 4 классов соответственно. В нивелирную сеть 3 и 4 классов обязательно включают все пункты плановой государственной геодезической основы.
Закрепление главной высотной геодезической основы на местности выполняется независимо от класса нивелирования постоянными знаками через 5-7 км, а в труднодоступных районах - через 10-15 км. Кроме того, для закрепления точек нивелирных ходов используются долговременные каменные или железобетонные сооружения, в цокольной части которых на цементном растворе устанавливают стенные реперы и марки. Такие же реперы могут устанавливаться в отвесных скалах. Нивелирные ходы 1 и 2 классов закрепляются дополнительно через 50-60 км фундаментальными ( капитальными ) реперами, обеспечивающими стабильность закреплённой точки в течение продолжительного времени. Каталоги высот реперов составляются. Хранятся и используются так же, как и каталоги координат.
НС состоят из систем полигонов примерно равного периметра. Линии нивелирования младших классов опираются обоими концами на реперы старших классов или на узловые реперы такого же класса, образуя замкнутые полигоны.
Класс
|
Периметр полигона
|
Расст. м-у реперами
|
Расст. м-х фунд реп.
|
Направл.
|
Число линий
|
Число ст. на 1 км
|
Высота луча
|
fхода доп.
|
wдоп
|
1
|
2800
|
5-7
|
50-60
|
Прямо и обр.
|
2
|
До 15
|
0.8 0.5
|
|
|
2
|
600
|
5-7
|
50-60
|
-«-
|
1
|
Больше 15
|
0.5 0.3
|
|
|
3
|
150/60
|
3-5
|
Не закл
|
Прямо
|
1
|
-
|
0.3
|
|
|
4
|
-
|
-
|
-
|
прямо
|
1
|
-
|
0.2
|
|
|
|
