Системы счисления
Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами.
В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Примером позиционной системы является общепринятая десятичная система, непозиционной – римская
В какой системе счисления лучше записывать числа – это вопрос удобства и традиций. С технической точки зрения, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему, так как в ней для записи числа используются только две цифры 0 и 1, которые можно представить двумя легко различимыми состояниями “нет сигнала ” и “есть сигнал”.
Человеку, напротив, неудобно иметь дело с двоичными записями чисел из-за того, что они более длинные, чем десятичные и в них много повторяющихся цифр. Поэтому, при необходимости работать с машинными представлениями чисел используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Основания этих систем – целые степени двойки, и поэтому числа легко переводятся из этих систем в двоичную и обратно.
В шестнадцатеричной системе есть цифры с числовыми значениями 10,11,12, 13,14,15. Для их обозначения используют первые шесть букв латинского алфавита.
Приведем таблицу чисел от 0 до 16, записанных в системах счисления с основаниями 10, 2, 8 и 16.
Число в десятичной системе счисления
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
В восьмеричной
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
20
|
В двоичной
|
0
|
1
|
10
|
11
|
100
|
101
|
110
|
111
|
1000
|
1001
|
1010
|
1011
|
1100
|
1101
|
1110
|
1111
|
10000
|
В шестнадцатеричной
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
10
|
Примеры решения задач
1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).
Решение.
464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94
232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88
116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76
58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52
а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04
14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08
7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16
3 | 1 2 | 0
1 | 1 1 | 1
а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) 1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).
Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.
P
|
2
|
00
|
01
|
10
|
11
|
4
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P
|
2
|
000
|
001
|
010
|
011
|
100
|
101
|
110
|
111
|
8
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
P
|
2
|
0000
|
0001
|
0010
|
0011
|
0100
|
0101
|
0110
|
0111
|
1000
|
1001
|
1010
|
1011
|
1100
|
1101
|
1110
|
1111
|
16
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 таблицы представлены ниже.
+
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
2
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
3
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
4
|
4
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
5
|
5
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
6
|
6
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
7
|
7
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
10
|
12
|
14
|
16
|
3
|
0
|
3
|
6
|
11
|
14
|
17
|
22
|
25
|
4
|
0
|
4
|
10
|
14
|
20
|
24
|
30
|
34
|
5
|
0
|
5
|
12
|
17
|
24
|
31
|
36
|
43
|
6
|
0
|
6
|
14
|
22
|
30
|
36
|
44
|
52
|
7
|
0
|
7
|
16
|
25
|
34
|
43
|
52
|
61
|
3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).
10000000100 223,2 3B3,6
+ 111000010 + 427,54 +38B,4
------------ ------- -----
10111000110 652,74 73E,A
4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).
1100000011,011 1510,2 27D,D8
- 101010111,1 -1230,54 -191,2
-------------- ------- ------
110101011,111 257,44 EC,B8
5. Выполнить умножение:
а) 100111(2) 1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) 46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) 40,D(16) = 18B7,52(16).
100111 1170,64 61,A
*1000111 * 46,3 *40,D
------------- -------------- ----------
100111 355 234 4F 52
+ 100111 + 7324 70 + 1868
100111 47432 0 ----------
100111 ------------- 18B7,52
------------- 57334,134
101011010001
Тест №2
Тест №3
Тест №4
Практическая работа №4
Практическая работа №5
Самостоятельная работа №2
Контрольная работа № 2
Контрольная работа №3
|
