Российской федерации

Скачать 2.74 Mb.

Название	Российской федерации
страница	14/52
Тип	Документы

rykovodstvo.ru > Руководство эксплуатация > Документы

1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 52

СВОЙСТВА МАТРИЦ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СТРОКАМИ. МАТРИЦА КАК ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ

П.В. Порубова

Научный руководитель: д.т.н., профессор Б.А. Горлач
В работе доказывается, что произведение действительной неособенной матрицы с ортогональными строками P (столбцами Q) справа (слева) на транспонированную по отношению к ней матрицу

(

)равно диагональной матрице

(

).

Согласно теореме для матрицы P с ортогональными строками

, где

. Так как векторы-строки матрицы P попарно ортогональны, то справедливо соотношение :

.

В матричном виде это соотношение приводит к равенству

(1)

Аналогично доказывается вторая часть утверждения:

.

Покажем, что всякую действительную неособенную матрицу с ортогональными строками P(столбцами Q) можно представить в виде умноженной слева (справа) ортогональной матрицы

(

) на диагональную матрицу

(

).

В силу (1) имеем соотношение

.

В этом соотношении матрица

, так что

.

Так как

и матрица

неособенная (существует

), то справедливо соотношение

.

Матрица, транспонированная по отношению к диагональной, является той же самой диагональной матрицей, т.е.

. Поэтому получаем (2)

.

Равенство (2) указывает на то, что матрица

ортогональная. Из последнего соотношения следует утверждение:

.

Аналогично для матрицы Q с ортогональными столбцами справедливо равенство

.

Чтобы неособенную матрицу с ортогональными строками P (столбцами Q) преобразовать в ортогональную матрицу

(

) необходимо осуществить нормирование строк матрицы P (столбцов матрицы Q). Для этого достаточно все векторы-строки матрицы P (столбцы матрицы Q) разделить на модули этих векторов:

. В результате получим равенство

(3)

, где

- элементы нормированных векторов-строк (векторов-столбцов) матрицы с ортогональными строками (столбцами).

Свойства ортогональных и частично ортогональных матриц используются в решении систем линейных уравнений ,что зачастую намного упрощает процесс вычислений. Пусть требуется найти решение системы уравнений, приведённой к матричному виду: AX=B. Если матрица A действительная и неособенная, то её векторы-столбцы или векторы-строки можно сделать попарно ортогональными и даже выделить из A ортогональную матрицу

. Целесообразность таких преобразований заключается в том, что обращение получающихся при преобразовании треугольных и диагональных матриц требует намного меньше времени, чем обращение квадратных матриц общего вида.

Покажем как можно осуществить решение на примере ортогонализации столбцов матрицы A .

В этом случае A можно представить в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами Q на верхнюю треугольную матрицу с единичной диагональю U. Система примет вид

(4)

.

Умножим обе части последнего равенства слева на

. Получим искомое выражение:

.

Матрица, обратная по отношению к ортогональной, равна транспонированной матрице:

; матрица

определяется по матрице

обращением диагональных элементов:

.

Относительно просто находится и матрица

, обратная по отношению к верхней треугольной матрице U с единичной диагональю.

Если оператор A переводит некоторый вектор x в вектор y того же пространства, что и x, то этот факт можно записать в виде y=Ax. Последнее преобразование можно обобщить и представить в виде

(5)

В отличие от y=Ax соотношение (5) указывает на то, что значение вектора y зависит не только от вектора x и вида оператора A, но и от положения «начала» вектора y, которое определяется вектором

.

Если ввести в рассматриваемом пространстве базис, в котором векторы x и y представляются своими координатами

, а оператор матрицей

(6)

,

то инвариантное по отношению к выбору базиса соотношение превратится в матричное соотношение :

(7)

.

Элементы матриц этого соотношения зависят от выбора базиса. Матрица A с совокупностью образующих ее элементов представляет оператор A так же как совокупности элементов векторов-столбцов X и Y представляют векторы x и y.

Соотношение (7) представляет собой n соотношений :

Пример 1. Пусть на плоскости каждому вектору

ставится в соответствие вектор

, являющийся составляющей вектора X на направление оси декартовой ортогональной системы координат (рис. 1)

y

x

x1

x2
Рисунок 1.Векторы х и у в ортогональной системе координат.
Требуется показать, что в преобразовании Y=AX матрица A представляет оператор линейного преобразования.

По условию примера

. Записанные соотношения линейны, следовательно, линейно и представляемое ими преобразование, а оператор преобразования имеет вид

.

Выясним смысл элемента

матрицы преобразования A. Предположим, что вектор представляется совокупностью координат декартовой ортогональной системы. Рассмотрим связанные с координатами

единичные орты

, … ,

. Применим преобразование A к

- вектору , в котором j– я координата равна единице, а остальные координаты равны нулю :

(8)

.

Список использованных источников:

1.Горлач Б.А. Линейная алгебра. - Самара:Аэропринт,2008г.С. 143-149.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М., 1982.С.211-216.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.:Наука, 1975. С. 217-222.

1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 52

Похожие:

	Министерство труда и социального развития российской федерации постановление Российской Федерации, Федеральной пограничной службой Российской Федерации, Министерством Российской Федерации по связи и информатизации,...		Федеральное агентство воздушного транспорта информационный сборник по вопросам функционирования Собрания Российской Федерации, Председателя Конституционного Суда Российской Федерации, Генерального Прокурора Российской Федерации,...
	О прокуратуре российской федерации Прокуратура Российской Федерации единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации...		Основные нормативные акты, регулирующие вопросы гражданства Российской... Российской федерации в упрощенном порядке, условия и порядок признания гражданином российской федерации отдельных категорий лиц,...
	Министра обороны российской федерации и министерства образования и науки российской федерации Во исполнение постановления Правительства Российской Федерации от 31 декабря 1999 г. №1441 «Об утверждении Положения о подготовке...		Указ президента российской федерации об утверждении положения о порядке... Ведомости Съезда народных депутатов Российской Федерации и Верховного Совета Российской Федерации, 1992, n 17, ст. 952
	Министерство здравоохранения российской федерации приказ Российской Федерации" (Собрание законодательства Российской Федерации, 2011, n 48, ст. 6724) и Указом Президента Российской Федерации...		Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. №184-фз "О техническом...
	Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...		Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...
	Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...		Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...
	Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...		Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...
	Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...		Национальный стандарт российской федерации Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-фз "О техническом...

Руководство, инструкция по применению

Российской федерации

СВОЙСТВА МАТРИЦ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СТРОКАМИ. МАТРИЦА КАК ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ П.В. Порубова

Похожие:

СВОЙСТВА МАТРИЦ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СТРОКАМИ. МАТРИЦА КАК ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРОВ

П.В. Порубова