26 замечательных кубиков
|
Скачать 95.37 Kb.
|
|
Х региональное соревнование юных исследователей «Будущее Севера. ЮНИОР» «Естественные науки и современный мир»: математика 26 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КУБИКОВ Автор: Кононюк Владислава Владимировна МОУ Зверосовхозская СОШ, 6 класс Научный руководитель: Абашкина Татьяна Сергеевна МОУ Зверосовхозская СОШ, учитель н.п. Зверосовхоз 2012 В детстве мне очень нравилось рассматривать узоры, возникающие в зеркальном калейдоскопе. Один поворот игрушки и узор меняется до неузнаваемости. Когда мне в руки впервые попал кубик Рубика, я просто рассматривала узоры, возникающие на его гранях вследствие хаотичных поворотов. Но вернуть кубик в первоначальное состояние даже не помышляла. В  этом году кубик Рубика появился у нас в классе. Учитель математики предложила нам собрать одну грань. Мне казалось, что это простая задача, но с первой попытки ничего не получилось. Оказалось, что и все мои одноклассники не могут справиться с этой задачей. И тогда у нас возникла идея – надо не просто научиться собирать одну грань, а познакомиться с этой головоломкой поближе.На занятиях математического кружка мы познакомились с историей кубика Рубика, рассмотрели различные схемы сборки кубика, попробовали собирать кубик используя различные инструкции. Есть схемы, требующие осмысления ситуации, сложившейся на гранях кубика – такие схемы более сложные и я могу пока пройти лишь 2-3 шага из 9, т.е. собрать два слоя кубика. Но я думаю, что постепенно научусь собирать кубик полностью. Наблюдая за тем, как изменяет свои положения кубик, я задалась вопросом, - а сколько всего положений есть у этой головоломки и из каждого ли положения можно собрать кубик Рубика. Я решила провести исследование по этой теме. Цель исследования: вычислить количество возможных положений кубика и выяснить из любого ли положения можно выполнить сборку двух его слоёв. Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи: 1) изучить литературные источники по решению комбинаторных задач; 2) изучить послойную схему сборки кубика Рубика; 3) исследовать количество положений головоломки; 4) создание схемы сборки одной грани кубика путём систематизации возможных положений граней кубика; 5) распространить опыт работы со схемой среди одноклассников. Вычисление количества положений кубика Рубика. Поверхность кубика Рубика состоит из 6 граней шести цветов. Каждая грань состоит из 9 квадратов, т.е. всего на поверхности кубика 54 квадрата, каждый из которых может быть окрашен в один из шести цветов: красный, оранжевый, жёлтый, белый, синий, зелёный. Чтобы вычислить количество положений кубика Рубика найдём общее количество вариантов окраски 54 квадратов в шесть различных цветов. Первый квадрат может быть окрашен одним из 6 цветов. Для каждого цвета первого квадрата возможны 6 вариантов окраски второго квадрата, т.е. имеем 6х6 вариантов окраски двух квадратов. Из каждого способа окраски двух первых квадратов имеем по 6 вариантов окраски третьего квадрата. Всего получаем 6х6х6 вариантов окраски трёх квадратов. Таким образом, при рассмотрении каждого следующего квадрата число возможных окрасок рассматриваемых квадратов увеличивается в 6 раз. Значит 54 квадрата могут быть окрашены шестью цветами 654 способами. Решение задачи оказалось достаточно простым: количество положений кубика 654. И  зучая литературу, связанную с кубиком Рубика я постоянно обращала внимание, что квадраты кубика не окрашены произвольно. Рассмотрев строение кубика я увидела, что центральные квадраты жёстко закреплены на крестовине и если не менять положение крестовины при вращении кубика, т.е. чётко определить верхнюю-нижнюю, правую-левую, переднюю-заднюю грани, то получается, что центральные квадраты не меняют свой цвет: если верхний центральный квадрат – зелёный, то нижний – обязательно синий; а в боковых гранях белый центральный квадрат всегда расположен напротив жёлтого, а красный напротив оранжевого.Проведя все эти рассуждения понятно, что вывод о количестве положений кубика Рубика является преждевременным, т.к. совершенно не учитывает устройство кубика. Разделим кубики, составляющие поверхность кубика Рубика, на центровые (закреплённые на крестовине), угловые и рёберные. Центровые имеют только одну окрашенную грань и они не меняют своего положения, т.е. при решении нашей задачи мы не будем брать их в расчет. Угловых кубиков – восемь. Угловые кубики имеют по три окрашенных грани, т.е. каждый кубик может располагаться на одном и том же месте тремя разными способами, а все восемь угловых кубиков N = 38 способами. Надо вычислить количество перестановок восьми кубиков в восьми углах. Первый кубик может быть поставлен в любой из 8 углов, второй – в любой из 7 оставшихся и т.д. Количество перестановок будет равно P8 = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 8! Используя правило умножения (основное правило комбинаторики) получим количество положений угловых кубиков, равное произведению N·P8 = 38·8! = 264 539 520. Рассмотрим теперь рёберные кубики. Каждый из них имеет 2 окрашенные грани, количество рёберных кубиков – 12. Аналогично рассуждая, получим, что количество положений рёберных кубиков равно произведению N·P12 = 212·12! = 1 961 990 553 600. Основываясь на правиле умножения, имеем, что количество возможных положений рёберных и угловых кубиков равно (38·8!) · (212·12!) = 519 024 039 293 878 272 000 (около 519 квинтиллионов!). Схема сборки одной грани кубика Рубика. Несмотря на огромное количество положений на гранях кубика каждый раз можно провести систематизацию этих положений и найти алгоритм решения для каждой ситуации. В результате такой систематизации появляется схема сборки кубика Рубика. Я хочу предложить схему сборки одной грани, по которой ученики 4-6 классов смогут собрать одну грань кубика Рубика, а также разобраться с основными обозначениями, применяемыми при записи алгоритма полной сборки. Основные обозначения:  В – верхняя грань, Н – нижняя грань, П – правя грань, Л – левая грань, Ф – передняя (фронтальная) грань, З – задняя грань. Повороты: В – поворот верхней грани по часовой стрелке, В’ – поворот верхней грани против часовой стрелки, В” – двойной поворот верхней грани (выполняется в любую сторону). Введём также обозначения для средних слоёв: Сг – средний горизонтальный слой, Св – средний вертикальный слой. 1 шаг. Определяем цвет грани, которую будем собирать, например – синий. Фиксируем центральный синий квадрат в верхней грани.  2 шаг. Собираем в верхней грани все квадраты, которые можно поставить на место 1-2 поворотами. 3 шаг. Собираем рёберные кубики.   Сг П’ Сг’ П   Сг’ Л Сг Л’   Св’ Н’’ Св  Н Св’ Н’ Св    Св↑ Н’’ Сг’’ Св↑  4 шаг. Собираем угловые кубики.  Н’ П’ Н П   Н Л’ Н’ Л’   Л Н’ Л’  П’ Л П  Н’ П’ Н’’ П  Н Л Н’’ Л’ Для популяризации кубика Рубика среди моих сверстников:
В результате проведённой работы можно сделать следующие выводы: 1) решена задача вычисления количества положений кубика Рубика; 2) создана схема сборки одной грани с использованием общепринятых обозначений; 3) создана памятка-схема для распространения опыта по сборке кубика. Используемая литература 1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. – М.: Мнемозина, 2008. 2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 класс. – М.: Мнемозина, 2009. 3. Мыльников М. Всем кубикам кубик // «Юный техник», 1982, № 2. 4. История кубика Рубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.cubemir.ru/history/history.html. 5. Как собрать кубик Рубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kak-sobrat-kubik-rubika.praya.ru/. 6. Когда и как Эрно Рубик изобрёл кубик Рубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://playlab.ru/club/history/rubiks_cube/. Приложение № 1 Стенгазета «Кубик Рубика»  Приложение № 2 Соревнование по скоростной сборке одной грани кубика Рубика    РЕЗУЛЬТАТЫ соревнований по скоростной сборке одной грани кубика Рубика
|
Похожие:
 |
Руководство по обслуживанию автоматическая машина для изготовления кубиков льда Временная диаграмма 3 |
 |
«Из жизни замечательных машин» Автомобиль ваз-2105 [Текст] / В. А. Вершигора, А. П. Игнатов, К. В. Новокшонов, К. Б. Пятков. М. Досааф, 1982. 223 с черт |
|
Шамиль Сайт «Военная литература» Казиев Ш. М. Имам Шамиль / Изд. 2-е испр. — М.: Молодая гвардия, 2003. — 378 с. ( «Жизнь замечательных людей»). Тираж: 5000 экз |
|
О ремонте осциллографов С1-94 Однако некоторые из них пользуются огромной популярностью. Одним из таких приборов является осциллограф типа С1-94. О восстановлении... |
|
Эта же книга в других форматах Я знаю многих замечательных людей, ведущих духовную жизнь, и они остерегаются говорить о чудесах, которые случались в их жизни, считая... |
|
Тезисы к докладу: «Тетрисомания» Программа различает одновременное создание 1, 2, 3 и 4 сплошных линий. Для придания игре разнообразия она разделена на уровни. Игра... |
|
1. Инструменты, приспособления и оборудование для выполнения операции сверления Дерево как строительный материал известно с древнейших времен. Исторические и географические условия Древней Руси способствовали... |
|
2+2, т е. одновременная перестановка 2-х пар рёберных, угловых, центральных... Краткое описание принципов и кратности перемещений частей куба, а также о специфичных ситуациях |
|
1. Обновляются активированные ранее вещи Движение. Днём, уходя с любой клетки поля (кроме города и воды), Герой и каждый Наёмник получают 1 усталость и уже на этом ходе бросают... |
|
Иосиф Ромуальдович Лаврецкий Эрнесто Че Геваро Серия: Жизнь замечательных... Книга рассказывает о жизненном пути замечательного революционера-интернационалиста Эрнеста Че Гевары. Че Гевара, один из вождей кубинской... |